Faculdade de Ciências e Tecnologia

Análise Matemática II D

Código

10572

Unidade Orgânica

Faculdade de Ciências e Tecnologia

Departamento

Departamento de Matemática

Créditos

6.0

Professor responsável

João Nuno Gonçalves Faria Martins

Horas semanais

6

Total de horas

78

Língua de ensino

Português

Objectivos

Compreensão do conceito de série numérica. Análise da convergência de uma série.

Compreensão do conceito de limite e de continuidade, no contexto de funções reais a mais do que uma variável.

Estudo da diferenciabilidade de funções com mais do que uma variável, com aplicações ao estudo de extremos absolutos, relativos e condicionados.

Compreensão do conceito de integral duplo e triplo, e o seu cálculo por meio do teorema de Fubini e de mudanças de coordenadas.

Definição de integrais de linha e de superfície. Campos conservativos. Teoremas de Stokes, Green e Gauss (divergência).

Pré-requisitos

Sucessões de números reais. Cálculo diferencial e integral a uma variável. Rudimentos de cálculo matricial.

Conteúdo

Séries numéricas 

Definição  e noção de convergência. O caso das séries geométricas e das séries telescópicas. Critérios de convergência para séries de termos não negativos. Convergência absoluta. O critério de Leibniz para séries alternadas.

Limites e continuidade 

Generalidades sobre funções de várias variáveis. Noções topológicas elementares em R^n. Noção de limite de uma sucessão vectorial. Limite (sequencial) de uma função real de várias variáveis. Limites direccionais, iterados e parciais. Utilização de coordenadas polares. O caso das funções vectoriais. Continuidade.

Cálculo diferencial 

Diferenciabilidade de uma função de várias variáveis. Derivadas parciais e segundo um vector. Teorema de Schwarz. Derivada da função composta. O caso das funções vectoriais. Teorema da função implícita. Desenvolvimento em fórmula de Taylor. Extremos relativos e extremos globais. Extremos condicionados e multiplicadores de Lagrange.

Integração múltipla

Integrais duplos e triplos, segundo Riemann. Teoremas de Fubini e de mudança de variáveis. Coordenadas cilíndricas e esféricas. Aplicações ao cálculo de áreas, volumes e centros de massa.


Integrais de linha

Integrais de linha de funções escalares e de campos vectoriais. Teorema de Green. Gradiente, rotacional, divergência. Formas diferenciais. Campos conservativos.

Integrais de superfícies e fluxos

Integrais de superfície. Fluxo de um campo vectorial através de uma superfície. O teorema de Stokes e o teorema de Gauss.

Bibliografia

H. Anton, I. Bivens, S. Davis, Cálculo, volume 2, 8ª edição, Bookman, Porto Alegre, 2007.

G. E. Pires, Cálculo diferencial e integral em Rn, IST Press, Lisboa, 2012.

Carlos Sarrico. Cálculo Diferencial e Integral para funções de várias variáveis. Esfera do Caos Editores.  2009.

Calculus; Early Transcendentals-James Stewart (Sixth Edition). Capítulos 12 a 16.

Cálculo 2- Tom M Apostol, Editorial Reverté 1996. Capítulos 8 a 12.

Calculus; a New horizon-Howard Anton (Sixth Edition). Capítulos 12 a 17.

J. E. Marsden and A. Tromba, Vector Calculus, 5th ed., W. H. Freeman (2003).

Método de ensino

Aulas teóricas: ensinam-se os conceitos fundamentais, ilustrados por meio de numerosos exemplos representativos.

Aulas práticas: resolvem-se exercícios de aplicação desses mesmos conceitos.

Serão disponibilizadas listas extensas de exercícios, das quais os alunos devem resolver o maior número possível, antes e depois das aulas práticas (independentemente) e durante as aulas práticas, com o apoio de um docente.

Quaisquer dúvidas que surjam das aulas (teóricas ou práticas),  ou da resolução de exercícios, poderão ser esclarecidas durante as aulas, ou em horários de atendimento, agendados ou combinados com os docentes, no caso de incompatibilidade de horário.

 Com o fim de guiar os alunos na matéria, serão disponibilizadas notas detalhadas das aulas teóricas. Estas todavia não substituem a presença nas aulas. 

Método de avaliação

Frequência.

Será concedida Frequência a qualquer aluno que não falte injustificadamente a mais do que três das aulas práticas leccionadas, correspondentes ao turno em que se encontra inscrito. Um aluno está dispensado de frequência se tiver um estatuto especial previsto no regulamento de avaliação da FCT/UNL.

Segundo as regras de avaliação vigentes na FCT/UNL, sendo esta uma UC em repetição, na sua edição fora do plano curricular, e sendo a  obtenção de Frequência decorrente de actividades de carácter presencial,  o facto de um aluno ter obtido Frequência em alguma edição anterior da disciplina não o dispensa de a obter na presente edição.

Um aluno sem frequência (e sem dispensa de frequência) não será admitido nem no segundo teste nem no exame de recurso.

Avaliação teórica-prática.

Testes.

Realizam-se dois testes escritos, com a duração de 1.5 horas, durante o semestre. Cada teste tem classificação de 20 valores, arredondada às centésimas. Designando a classificação do primeiro e do segundo teste por T1 e T2, respectivamente, a classificação final dos testes obtém-se segundo a fórmula (arredondada às centésimas):

CT = (T1+T2)/2

 

Avaliação Sumativa:

Adicionalmente à avaliação teórico-prática, haverá também uma componente de avaliação sumativa. Esta consistirá de uma avaliação nas aulas práticas, consistindo de: resolução de exercícios e/ou trabalhos de casa e/ou idas ao quadro e/ou minitestes.

Essa componente de avaliação tem como nota AS= 0, 1 ou 2. 

A nota final da avaliação contínua (época normal): é obtida da seguinte formula, arredondada às unidades. 

N=Melhor valor entre  "CT*9/10+AS " e "CT"




Exame de Recurso ou repetição de um teste.


Se N for inferior, ou igual, a 9,49 o aluno pode apresentar-se a Exame de Recurso. Nesse caso um aluno pode realizar ou o Exame total (de três horas),  ou (no caso de ainda não estar aprovado à Unidade Curricular) repetir um dos testes (1.º ou 2.º). O aluno terá de escolher antecipadamente qual das três provas quer realizar.

A nota final  de recurso é obtida da seguinte fórmula, arredondada às unidades, sendo ER a classificação do exame de recurso:

 

R=Melhor valor entre "ER*9/10+AS" e "ER".

 

Para um aluno obter uma classificação igual ou superior a 17,  terá de comparecer a uma prova complementar, a combinar com o Regente.  Um aluno com classificação superior ou igual a 17, que não compareça na prova complementar, ficará com a classificação final de 16.


Melhoria de nota.

O aluno já aprovado tem o direito de efectuar melhoria de nota, mediante inscrição na divisão académica da FCT nos prazos fixados, na época de recurso imediatamente seguinte à época normal em que foi obtida a aprovação ou na época de avaliação (normal ou de recurso) seguinte. Nesse caso terá sempre de fazer o exame total de 3 horas, não podendo apenas repetir um dos testes.

Para um aluno obter uma classificação superior a 17 (inclusivé) terá de comparecer a uma prova complementar, a combinar com o Regente.  Um aluno com classificação do exame de melhoria superior ou igual a 17 que não compareça na prova complementar ficará com a classificação final de 16.



Logística.

Só poderão efectuar qualquer das provas os alunos que se inscrevam para o efeito através do CLIP, no decurso do período aí estipulado. Só poderão efectuar qualquer das provas os alunos que, no acto da prova, sejam portadores de um documento oficial de identificação, onde conste uma fotografia (por exemplo, Cartão de Cidadão,  Bilhete de Identidade, Passaporte, algumas versões de Cartão de Estudante) e caderno de exame em branco.

Cursos