Faculdade de Ciências e Tecnologia

Introdução à Álgebra

Código

10820

Unidade Orgânica

Faculdade de Ciências e Tecnologia

Departamento

Departamento de Matemática

Créditos

6.0

Professor responsável

Vitor Hugo Bento Dias Fernandes

Horas semanais

6

Total de horas

56

Língua de ensino

Português

Objectivos

Pretende-se que o aluno adquira conhecimentos básicos sobre as estruturas de grupo e de anel, bem como sobre a Teoria da Fatorização em anéis (em particular, de polinómios). 

Conteúdo

I. Grupos

1. Generalidades. 
2. Subgrupos. 
3. Grupos cíclicos.
4. Classes laterais. Índice de um subgrupo.
5. Relações de congruência. Grupos cociente. Subgrupos normais. 
6. Morfismos. 
7. Decomposição canónica e Teorema do Homomorfismo. 
8. Teoremas do Isomorfismo. 
9. Grupo Simétrico.

II. Anéis

1. Generalidades. 
2. Divisores de zero. Domínios de integridade. Anéis de divisão. 
3. Característica de um anel.
4. Subanéis. 
5. Relações de congruência. Anéis cociente. Ideais. 
6. Morfismos. 
7. Decomposição canónica e Teorema do Homomorfismo. 
8. Teoremas do Isomorfismo.

III. Teoria da Factorização

1. Divisores.
2. Elementos primos e primos entre si. 
3. Semigrupos de Gauss.
4. Anéis de Gauss. 
5. Anéis de ideais principais. 
6. Domínios euclideanos.

IV. Anéis de Polinómios

1. Anéis de polinómios. 
2. Algoritmo da divisão. 
3. Funções polinomiais. 
4. Teoria da factorização em anéis de polinómios.
5. Irredutibilidade.

Bibliografia

1. J. Durbin, Modern Algebra, John Wiley & Sons, Inc.

2. N. Jacobson, Basic Algebra I, W. H. Freeman and Company.

3. S. Lang, Algebra, Addison-Wesley Publishing Company, Inc.

4. A. J. Monteiro e I. T. Matos,  Álgebra, um primeiro curso, Escolar Editora.

5. M. Sobral,  Álgebra, Universidade Aberta.

6. G.M.S. Gomes, Anéis e Corpos, uma introdução, DM-FCUL, 2011.

Método de ensino

Aulas teórico-práticas participadas, com exposição oral de matéria e resolução de problemas.

Método de avaliação

Para obter aprovação na disciplina é necessário obter frequência.

O aluno obtém frequência desde que participe em pelo menos 2/3 das aulas (e sessões tutoriais)  leccionadas. 

Avaliação contínua: 4 testes de 75 minutos. 

Sendo Ti a nota do teste i, i=1,2,3,4 a nota final (ponderada) da avaliação contínua obtém-se pela fórmula AC =  0,2 T1 +  0,25 T2 +  0,25 T3 + 0,3 T4.  

Se AC >= 16,5 o aluno tem de efetuar uma prova extra. 

Exame Final: se a nota do exame final for superior ou igual a 16,5 (valores), o aluno tem de efetuar uma prova extra. 

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