Topologia e Homotopia
Código
10842
Unidade Orgânica
Faculdade de Ciências e Tecnologia
Departamento
Departamento de Matemática
Créditos
6.0
Professor responsável
João Nuno Gonçalves Faria Martins
Total de horas
56
Língua de ensino
Português
Objectivos
O objectivo desta unidade curricular é dotar os alunos de conhecimentos de Topologia Geral, ilustrados com numerosos exemplos explícitos, servindo também como uma introdução à Topologia Algébrica e à Teoria da Homotopia.
Os alunos deverão entender e saber demonstrar os resultados fundamentais sobre espaços topológicos, funções contínuas, compacidade, conexidade e axiomas de separação/ numerabilidade.
Na área de Topologia Algébrica, os alunos farão uma aprendizagem do conceito de grupo fundamental de um espaço topológico, e do seu cálculo em casos simples, resultando de casos particulares do Teorema de van Kampen, da passagem a espaços de revestimento e de equivalências de homotopia.
Como forma de enfatizar a importância da functorialidade em topologia algébrica, far-se-á também uma aprendizagem elementar de teoria das categorias, incluindo a noção de produto e de co-produto.
É também objectivo desta unidade curricular mostrar aplicações imediatas da topologia algébrica, através de demonstrações do teorema fundamental da álgebra, do teorema do ponto fixo de Brouwer (para o disco) e, havendo tempo, do teorema da curva de Jordan.
Pré-requisitos
Análise em Rn. Noções gerais de Algebra Linear.
Noções gerais sobre espaços métricos.
Noções gerais de Álgebra Geral: relações de equivalência, grupos, anéis, homomorfismos e isomorfismos.
Conteúdo
Espaços topológicos. Base e sub-base de um espaço topológico. Produto de dois espaços topológicos. Sub-espaços de espaços topológicos. Interior, fecho e derivado de um subconjunto de um espaço topológico. Conjuntos fechados. Espaços de Hausdorff. Espaços métricos. Funções contínuas. Homeomorfismos. Propriedades topológicas.
Conexidade de espaços topológicos. Componentes conexas. Espaços localmente conexos. Conexidade por arcos. Componentes conexas por arcos. Espaços localmente conexos por arcos. Igualdade entre componentes conexas e conexas por arcos para espaços localmente conexos por arcos.
Compacidade de espaços topológicos. Teorema da sub-base de Alexander. Produtos arbitrários de espaços topológicos. Teorema de Tychonoff. Compacidade sequencial. Propriedade de Bolzano-Weirstrass. Teorema contável de Tychonoff para espaços sequencialmente compactos. Compacidade em espaços métricos. Números de Lebesgue de coberturas de espaços métricos compactos. Compacidade local. Compactificação a um ponto de um espaço localmente compacto.
Axiomas de numerabilidade. Primeiro e segundo axioma da numerabilidade. Separabilidade. Caso dos espaços métricos. Axiomas de separação. Espaços T1,T2,T3 e T4. Lema de Urysohn. Teorema da metrização de Urysohn. Teorema da extensão de Tietze.
Topologia quociente. Mapas quocientes. Exemplos incluindo a banda de Mobius e o plano projectivo.
Homotopia entre mapas. Homotopia entre curvas. Grupo fundamental de um espaço topológico. Independência do ponto base. Espaços simplesmente conexos. Uma união de espaços simplesmente conexos com intersecção conexa por arcos é simplesmente conexa. Grupo fundamental da esfera. Categorias e functores. Functorialidade do grupo fundamental. Retratos e retrações. Retratos e espaços simplemente conexos. Não existe retração do disco na circunfência. Teorema do ponto fixo de Brouwer para o disco.
Coberturas. Exemplos. Acções propriamente discontínuas de grupos por homeomorfismos. Levantamento de curvas e de homotopias. Acção do grupo fundamental na fibra de um espaço de recobrimento. Cálculo explícito do grupo fundamental da circunferência e do plano projectivo. O grupo fundamental de um quociente de um espaço simplesmente conexo por uma acção (por homeomorfismos) de um grupo propriamente descontínua.
A categoria dos espaços topológicos e das funções à parte de homotopia. Equivalência de homotopia entre espaços. Se f é uma equivalência de homotopia então o homomorfismo induzido no grupo fundamental é um isomorfismo. Se f é homotopicamente trivial então induz o mapa trivial ao nível de grupos fundamentais. O teorema fundamental da algebra.
Possíveis tópicos adicionais. Teorema da curva de Jordan. Coprodutos de grupos e o teorema de van Kampen.
Bibliografia
1) James R. Munkres: Topology. Prentice Hall (2000)
2) Armstrong, Mark Anthony: Basic topology. Corrected reprint of the 1979 original. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1983.
3) Gamelin, Theodore W.; Greene, Robert Everist: Introduction to topology. Second edition. Dover Publications, Inc., Mineola, NY, 1999.
Método de ensino
A unidade curricular funcioná com 3 horas semanais de aulas teóricas, e uma hora semanal de aulas práticas. Serão disponibilizada 1.5 horas semanais de horários de atendimento.
Método de avaliação
Avaliação Contínua
-Os alunos deverão entregar quinzenalmente séries de exercícios, propostas pelo docente. No final do semestre far-se-á a média ponderada das notas das séries de exercícios, que contará para a nota final da unidade curricular com o peso de 75%. Da nota de cada série de exercícios fará parte a discussão de alguns destes; esta discussão terá lugar durante as aulas práticas.
-Cada aluno fará uma apresentação oral de cerca de 1 hora (por exemplo com uma demonstração completa de um teorema, explicação de uma pequena secção de um livro, etc.) A nota da apresentação contará para a nota final na unidade curricular com o peso de 25 %.
Exame final
Frequência: Um aluno obtém frequência se tiver entregue todas, as séries de exercícios propostas, excepto possivelmente uma.