Introdução ao Cálculo das Variações
Código
10988
Unidade Orgânica
Faculdade de Ciências e Tecnologia
Departamento
Departamento de Matemática
Créditos
6.0
Professor responsável
José Maria Nunes de Almeida Gonçalves Gomes
Total de horas
70
Língua de ensino
Português
Objectivos
Introdução aos conceitos fundamentais do Cálculo das Variações. Pretende-se que o aluno adquira competências nos seguintes tópicos:
- Métodos indirectos: a equação de Euler-Lagrange e condições para a obtenção de soluções que minimizam o respectivo funcional.
- Métodos directos: Noção de convergência fraca, Derivada fraca, Espaços de Sobolev e obtenção de mínimos para certos funcionais fracamente sequencialmente semi-contínuos inferiormente em W1,2
Pré-requisitos
Conhecimentos básicos em Cálculo Diferencial e Integral e Teoria dos Espaços Lp.
Conteúdo
Introdução ao Cálculo das Variações
1. Métodos Indirectos
Problemas clássicos do Cálculo das Variações
A primeira variação
As equações de Euler-Lagrange
Condições de fronteira naturais
Problemas de minimização condicionada (problemas de tipo isoperimétrico)
Problemas com condições de Neumann na fronteira
Variação interior eTeorema de Noether
A segunda variação (condição de Legendre)
Aplicações
2. Métodos Directos
Tópicos de Análise Funcional: Teorema de Ascoli, Lema de Baire, Teorema de Hahn Banach, Teorema de Banach Steinhaus, Noção de Convergência fraca, Topologia fraca e convexidade, Propriedades dos Espaços de Hilbert, Espaço de sobolev W1,p.
Problemas Variacionais em W1,2. Teorema de Tonelli. Condições para existência de mínimo para um funcional definido em W1,2. Existência de solução para problemas de segunda ordem com valores na fronteira entre sub e sobresolução bem ordenadas (abordagem variacional).
Aplicações.
Bibliografia
Textos principais:
One-dimensional Variational Problems (An introduction). Butazzo G., Giaquinta M. and Hildebrandt S., Oxford Science Publications.
Analyse Fonctionelle, Brézis H., Masson.
Measure Theory and Fine properties of functions, Evans L. and Gariepy R., CRC press series in advanced Mathematics.
Outros textos:
C. Fox — An Introduction to the Calculus of Variations, Dover, 1987
Gelfand, Fomin — Calculus of Variations, Dover, 2000
Sagan — Introduction to the Calculus of variations, McGraw-Hill, 1969
Método de ensino
Ensino em regime Teórico Prático com componente expositiva da matéria e componente de discussão e resolução de problemas com os alunos. Os alunos devem -de modo autónomo- resolver problemas, redigir convenientemente a resolução e expor oralmente o trabalho desenvolvido. Posteriormente, os alunos devem proceder ao estudo de um artigo científico no âmbito dos conhecimentos adquiridos.
Método de avaliação
Entrega de exercícios escritos no final de cada módulo fundamental da disciplina. Avaliação presencial do desempenho do aluno.