Análise Matemática IV B
Código
5006
Unidade Orgânica
Faculdade de Ciências e Tecnologia
Departamento
Departamento de Matemática
Créditos
6.0
Professor responsável
António Patrício Alexandre
Horas semanais
5
Total de horas
70
Língua de ensino
Português
Objectivos
- No capítulo sobre equações diferenciais ordinárias pretende-se que o aluno se familiarize com as técnicas de resolução de equações diferenciais de primeira ordem lineares e não lineares. É ainda dedicada especial atenção às equações diferenciais lineares de ordem superior à primeira.
- No capítulo dedicado às Transformadas de Laplace, pretende-se que os alunos utilizem os conhecimentos adquiridos neste assunto de forma a poder aplicá-los na resolução de alguns tipos de equações diferenciais e integrais.
- Pretende-se que o aluno se familiarize com as técnicas de resolução de alguns tipos de equações às derivadas parciais.
Pré-requisitos
- Análise Matemática I, II e III; Álgebra Linear.
Conteúdo
1. Equações diferenciais ordinárias de primeira ordem. Diferenciais exatas. Fator integrante. Equações de variáveis separáveis. Equações homogéneas. Equações lineares de primeira ordem. Métodos qualitativos.
2. Equações diferenciais de segunda ordem. Equações lineares e a equação de Euler. A segunda lei de Newton. Os osciladores harmónico livre, amortecido e forçado. O método da variação das constantes.
3. Soluções por desenvolvimento em série. Funções de Bessel, de Lagrange e de Hermite.
4. Equaçõoes diferenciais lineares de ordem maior do que dois.
5. Sistemas de equações diferenciais lineares de coeficientes constantes. Equações diferenciais em coordenadas polares: movimento sob forças centrais. Estabilidade das soluções. Linearização de sistemas não-lineares próximo aos pontos de equilíbrio.
6. Equações com derivadas parciais. As equações do calor, de onda e de Laplace. O Laplaciano em coordenadas esféricas.
7. Séries e transformadas de Fourier e suas aplicações a solução de equações diferenciais.
8. Transformadas de Laplace e o seu uso na solução das equações diferenciais. O Delta de Dirac.
9. Introdução ao cálculo variacional. A lei de Snell-Descartes. A catenária. O princípio da mínima ação; as equações de Euler-Lagrange e o Lagrangeano. O problema da braquistócrona.
10. Introdução aos problemas inversos. A Transformada de Radon.
Bibliografia
- M. BRAUN, Differential Equations and Their Applications. Springer-Verlag.
- R. DIPRIMA & W.E. BOYCE, Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems. John Wiley & Sons.
- D.G. ZILL, Equações Diferenciais com Aplicações em Modelagem. Pioneira Thomson Learning.
- E. KREYSZIG, Advanced Engineering Mathematics. John Wiley & Sons.
- F. BRAUER & J.A. NOHEL, Introduction to Differential Equations with Applications. Harper & Row, Publishers.
- N.H. ASMAR, Partial Differential Equations with Fourier Series and Boundary Value Problems. Pearson Prentice Hall.
- G. BIRKHOFF & GIAN-CARLO ROTA, Ordinary Differential Equations. John Wiley & Sons.
- T.G. FEEMAN, The Mathematics of Medical Imaging: A Beginner''s Guide. Springer-Verlag
Método de ensino
Aulas teóricas (3 horas por semana) e aulas práticas (2 horas por semana). Exercícios para casa e exercícios a serem resolvidos nas aulas práticas.
Método de avaliação
1- REQUISITO:
- Só poderão apresentar-se a qualquer das provas escritas, e consequentemente ser avaliados na disciplina, os alunos que:
i. satisfaçam o critério de Frequência, ou dele estejam dispensados;
ii. se tenham inscrito para realizar a prova na Secretaria do Departamento de Matemática, até uma semana antes da respectiva data;
iii. no acto da prova sejam portadores de um documento oficial de identificação, onde conste uma fotografia (por exemplo, Cartão de Cidadão, Bilhete de Identidade, Passaporte, algumas versões de Cartão de Estudante);
iv. se apresentem munidos de um Caderno de Exame em branco.
2- FREQUÊNCIA
- Será concedida Frequência a qualquer aluno que não falte, injustificadamente, a mais do que um terço das aulas práticas leccionadas, correspondentes ao turno em que se encontra inscrito.
- Estão dispensados da obtenção de Frequência todos os alunos que possuam um estatuto especial que contemple a referida dispensa (trabalhador estudante ou qualquer outro reconhecido pelas regras gerais de avaliação da FCT-UNL).
3- AVALIAÇÃO CONTÍNUA
- Ao longo do semestre serão realizados três testes. Qualquer um destes testes terá uma classificação entre 0 (zero) e 20 (vinte) valores. Para efeitos de avaliação final, as classificações individuais destes testes serão consideradas em valores não arredondados.
- Para ser aprovado por Avaliação Contínua, o aluno terá que obter:
i. pelo menos, 7.0 valores no terceiro teste;
ii. soma das classificações dos três testes dividida por três, AC, superior ou igual a 9.5 valores.
Nesta situação, a classificação final é obtida arredondando AC para o inteiro mais próximo (n.5 é arredondado para n+1).
4- ÉPOCA DE RECURSO
- Podem apresentar-se a exame na época de recurso todos os alunos inscritos, e ainda não aprovados na disciplina, que estejam nas condições do ponto 2.
Se o aluno obtiver a classificação CE na prova, então:
i. se CE for menor do que 9.5 o aluno fica reprovado à disciplina;
ii. se CE for superior ou igual a 9.5 o aluno fica aprovado à disciplina, sendo a classificação final obtida por arredondamento de CE para o inteiro mais próximo (n.5 é arrendodado para n+1).