Álgebra Linear e Geometria Analítica E
Código
8001
Unidade Orgânica
Faculdade de Ciências e Tecnologia
Departamento
Departamento de Matemática
Créditos
6.0
Professor responsável
Herberto de Jesus da Silva, Maria de Fátima Vale de Gato Santos Rodrigues
Horas semanais
5
Total de horas
67
Língua de ensino
Português
Objectivos
Pretende-se que o aluno adquira conhecimentos básicos de Álgebra Linear e Geometria Analítica (vide Programa da disciplina) e que o processo de aprendizagem favoreça o desenvolvimento do raciocínio lógico e do espírito crítico do aluno.
Pré-requisitos
Conhecimentos de Matemática correspondentes ao ensino pré-universitário português (área de ciências).
Conteúdo
ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA - E
CAPÍTULO 1 - MATRIZES
Definição de matriz, operações com matrizes e alguns resultados básicos. Matrizes em forma de escada e em forma de escada reduzida. Método de eliminação de Gauss-Jordan. Três caracterizações das matrizes invertíveis. Processo para determinação da inversa de uma matriz invertível.
CAPÍTULO 2 - SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
Definições básicas: solução de um sistema, classificação de um sistema. Sistemas equivalentes. Representação matricial de um sistema de equações lineares. Resolução e discussão de sistemas. Outra caracterização das matrizes invertíveis.
CAPÍTULO 3 - DETERMINANTES
Definição de determinante de uma matriz. Algumas propriedades envolvendo determinantes. Teorema de Laplace. Caracterização das matrizes invertíveis através do determinante. Cálculo da inversa de uma matriz invertível a partir da sua adjunta. Regra de Cramer.
CAPÍTULO 4 - ESPAÇOS VECTORIAIS
O conceito de espaço vectorial. Algumas propriedades dos espaços vectoriais. Definição de subespaço de um espaço vectorial. Os conceitos de combinação linear e de dependência/independência linear de uma sequência de vectores. Bases e dimensão de um espaço vectorial. O Teorema do Completamento. O Teorema das Dimensões. Utilização das matrizes para determinação de uma base e determinação da dimensão do subespaço vectorial gerado por uma sequência de vectores.
CAPÍTULO 5 - APLICAÇÕES LINEARES
Definição e propriedades das aplicações lineares. Núcleo e Imagem de uma aplicação linear. Teorema da Dimensão. Teorema da Extensão Linear. Matriz de uma aplicação linear. Isomorfismos. Definição e resultados envolvendo matrizes de mudança de base.
CAPÍTULO 6 - VALORES E VECTORES PRÓPRIOS
Valores e vectores próprios de um endomorfismo e de uma matriz. Polinómio característico de uma matriz e multiplicidade algébrica de um valor próprio. Subespaço próprio associado a um valor próprio. Multiplicidade geométrica de um valor próprio. Matrizes e endomorfismos diagonalizáveis. Duas condições necessárias e suficientes para um endomorfismo/matriz ser diagonalizável. Determinação da matriz "diagonalizante".
CAPÍTULO 7 - PRODUTO INTERNO, PRODUTO EXTERNO E PRODUTO MISTO DE VECTORES
Definição de norma de um vector e definição de ângulo formado por dois vectores. Produto interno de dois vectores de R3. Sequências ortogonais de vectores. Bases ortogonais e bases ortonormadas. Produto interno em bases ortonormadas. Aplicação do produto interno ao cálculo do ângulo definido por dois vectores. Os conceitos de base directa e de base inversa de R3. Produto externo e produto misto de vectores de R3. Interpretação geométrica da norma do produto externo de dois vectores e do módulo do produto misto.
CAPÍTULO 8 - GEOMETRIA ANALÍTICA
Representações cartesianas da recta e do plano. Posições relativas entre duas rectas, entre dois planos e entre uma recta e um plano. Problemas métricos e não métricos: distâncias e ângulos.
Bibliografia
Isabel Cabral, Cecília Perdigão, Carlos Saiago, Álgebra Linear, Escolar Editora, 2012 (3ª Edição).
T. S. Blyth e E. F. Robertson, Essential student algebra. Volume two: Matrices and Vector Spaces, Chapman and Hall, 1986.
T. S. Blyth e E. F. Robertson, Basic Linear Algebra (Springer undergraduate mathematics series), Springer, 1998.
S. J. Leon, Linear Algebra with Applications, 6th Edition, Prentice Hall, 2002.
J. V. Carvalho, Álgebra Linear e Geometria Analítica, texto de curso ministrado na Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade Nova de Lisboa, Departamento de Matemática da FCT/UNL, 2000. http://ferrari.dmat.fct.unl.pt/personal/jvc/alga2000.html
E. Giraldes, V. H. Fernandes e M. P. M. Smith, Álgebra Linear e Geometria Analítica, McGraw-Hill de Portugal, 1995.
Método de ensino
Leccionação de aulas teóricas (3 horas semanais) e de aulas práticas (2 horas semanais).Existe um horário de atendimento docente onde cada aluno poderá, individualmente, esclarecer as suas dúvidas com qualquer um dos docentes da disciplina.
Método de avaliação
REGRAS DE AVALIAÇÃO
ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA - E
2014/15
1. REQUISITOS
Todo o aluno inscrito na Unidade Curricular (incluindo os alunos repetentes que não obtiveram frequência no ano lectivo 2013/2014) que não tenha, no CLIP, o estatuto de trabalhador-estudante e que tenha faltado a mais de 1/3 (um terço) das aulas práticas leccionadas, não obtém frequência e, consequentemente, reprova à Unidade Curricular.
Para que um aluno possa efectuar qualquer uma das provas (testes ou exames) terá de, no acto da prova , ter:
a) Bilhete de Identidade ou Cartão de Cidadão.
b) Talão comprovativo da entrega do Caderno de prova (com o cabeçalho não preenchido) na Secretaria do Departamento de Matemática. O Caderno deverá ser entregue na Secretaria do DM até oito dias antes da data da prova.
2. AVALIAÇÃO CONTÍNUA
A avaliação contínua consiste na realização, durante o semestre, de 3 testes sendo cada um deles cotado de 0 a 20 valores.
Podem apresentar-se a qualquer teste todos os alunos que à data do mesmo não tenham dado mais do que 3 faltas nas aulas práticas.
Sejam T1, T2 e T3 as classificações obtidas no 1º, 2º e 3º testes, respectivamente. Um aluno só poderá ficar aprovado na disciplina por avaliação contínua se
T3 ≥ 7 e 0,3×T1 + 0,35×T2 + 0,35×T3≥ 9,5 .
Neste caso a classificação final será dada por esta média arredondada às unidades, excepto se esta média for superior ou igual a 16,5, caso em que o aluno poderá optar entre ficar com a classificação final de 16 ou realizar uma prova complementar para defesa de nota.
3. EXAME
Podem apresentar-se a exame todos os alunos inscritos na Unidade Curricular, excepto os alunos que não tenham obtido frequência.
Se a classificação for inferior, ou igual, a 9,4 o aluno reprova. Se a classificação for superior, ou igual, a 9,5 e inferior, ou igual, a 16,4, o aluno fica aprovado com essa classificação, arredondada às unidades. Se a classificação for superior, ou igual, a 16,5 o aluno poderá optar entre ficar com a classificação final de 16 ou realizar uma prova complementar para defesa de nota.
4. MELHORIA DE NOTA
Todo o aluno que pretenda apresentar-se a melhoria de nota deve inscrever-se, para esse efeito no CLIP (informações na Repartição Académica). A classificação do exame de melhoria é obtida de acordo com o indicado em 3. Se este resultado for superior ao já obtido anteriormente na disciplina, será tomado como nota final. Caso contrário, não se verifica melhoria de nota.