Análise Matemática II B
Código
10476
Unidade Orgânica
Faculdade de Ciências e Tecnologia
Departamento
Departamento de Matemática
Créditos
6.0
Professor responsável
Marta Cristina Vieira Faias Mateus, Oleksiy Karlovych
Horas semanais
5
Total de horas
68
Língua de ensino
Português
Objectivos
No final desta unidade curricular o estudante terá adquirido conhecimentos, aptidões e competências que lhe permitam:
- Trabalhar com noções elementares de topologia em Rn, (vizinhança, aberto, fechado, etc.);
- Compreender a noção rigorosa de limite, continuidade e diferenciabilidade de funções vectoriais de variável real.
- Aplicar as funções vectoriais de variável real nas parametrizações das curvas e no estudo das respectivas propriedades.
- Compreender a noção rigorosa de limite e continuidade de funções reais e vectoriais de várias variáveis e calcular limites.
- Conhecer a noção de derivada parcial, diferenciabilidade, os teoremas da função implícita e da função inversa.
- Conhecer o desenvolvimento de Taylor e aplicações ao estudo de funções e cálculo de extremos.
- Conhecer a noção de integral duplo e triplo e saber calcular estes integrais usando as coordenadas mais adequadas.
- Conhecer algumas aplicações dos integrais duplo e triplo.
- Conhecer a noção de integral de linha, suas aplicações e respectivos resultados fundamentais.
- Conhecer a noção de integral de superfície, aplicação ao cálculo do fluxo e respectivos resultados.
Pré-requisitos
Cálculo diferencial e integral em R. Rudimentos de cálculo matricial.
Conteúdo
1. Noções Topológicas em Rn
1.1 Normas e métricas
1.2 Noções topológicas em Rn
2. Funções de Várias Variáveis
2.1 Funções reais de várias variáveis reais
2.2 Funções vectoriais
2.3 Limites e continuidade
3. Cálculo Diferencial em Rn
3.1 Derivadas parciais. Teorema de Schwarz
3.2 Diferencial
3.3 Derivada segundo um vector
3.4 Diferenciabilidade da função composta
3.5 Fórmula de Taylor
3.6 Teorema da Função Implícita
3.7 Teorema da Função Inversa
3.8 Extremos relativos
3.9 Extremos condicionados. Multiplicadores de Lagrange
4. Cálculo Integral em Rn
4.1 Integrais duplos. Definição de segundo Riemann
4.2 Integrais iterados: Teorema de Fubini
4.3 Mudança de variável em integrais duplos 4.3.1 Integrais duplos em coordenadas polares
4.4 Aplicações dos integrais duplos
4.5 Área de uma superfície superfície no plano e no espaço
4.6 Integrais triplos. Definição segundo Riemann
4.7 Mudança de variável em integrais múltiplos 4.8 Integrais triplos em coordenadas cilíndricas e em coordenadas esféricas
4.9 Campos vectoriais
4.10 Integrais de linha
4.11 Teorema fundamental para integrais de linha
4.12 Teorema de Green
4.13 Divergência e rotacional
4.14 Áreas de superfícies paramétricas
4.15 Integrais de superfície
4.16 Teorema de Stokes
4.17 Teorema da divergência
Bibliografia
Textos de base
- Anton, H.; Bivens, I.; Davis, S. - Cálculo, volume II, 8ª Edição, Bookman, 2007.
- Cálculo Diferencial em R^n, Uma Introdução. Ana Alves de Sá e Bento Louro. Departamento de Matemática, FCT-UNL.
Outras referências
- Marsden, J.; Weinstein, A. - Calculus III, Springer Verlag, 1988.
- Sarrico, C. - Cálculo Diferencial e Integral para funções de várias variáveis (Leituras + Exercícios), Esfera do Caos Editores, 2009
- Stewart, J.(Sixth Edition) - Calculus; Early Transcendentals
Livros de exercícios
- Cálculo Diferencial em R^n - Exercícios, M. A. M. Ferreira, Edições Sílabo.
- Cálculo diferencial em R^n (Exercícios resolvidos). Ana Alves de Sá. Departamento de Matemática, FCT-UNL.
- Integrais Múltiplos e Equações Diferenciais - Exercícios, M. A. M. Ferreira, Edições Sílabo.
Método de ensino
As aulas teóricas consistem em exposição da matéria, que é ilustrada com exemplos de aplicação.
As aulas práticas consistem na resolução de exercícios de aplicação dos métodos e resultados apresentados nas aulas teóricas. Estes exercícios são escolhidos numa lista fornecida pelos docentes.
Quaisquer dúvidas são esclarecidas no decorrer das aulas ou nas sessões destinadas a atendimento de alunos ou ainda em sessões combinadas directamente entre aluno e professor.
Método de avaliação
1. Frequência
É atribuída Frequência aos alunos que comparecerem a pelo menos dois terços das aulas práticas lecionadas. Só os alunos com estatuto especial (verificar com o regente quais os estatutos que dispensam a frequência) ou trabalhadores estudantes é que estão isentos de Frequência. O facto de um aluno ter obtido Frequência em alguma edição anterior da disciplina não o dispensa de a obter na presente edição.
Só os alunos que tenham Frequência, estatuto especial ou sejam trabalhadores estudantes podem comparecer às provas de avaliação.
A avaliação de conhecimentos é realizada através de Avaliação Contínua ou Exame de Recurso.
2. Avaliação Contínua
Ao longo do semestre serão realizados três testes com duração de 1h15m. Cada teste tem classificação de 20 valores.
1º Teste (T1): Podem apresentar-se ao 1º teste todos os alunos inscritos na disciplina.
2º Teste (T2): Podem apresentar-se ao 2º teste todos os alunos inscritos na disciplina.
3º Teste (T3): Podem apresentar-se ao 3º teste todos os alunos inscritos na disciplina que tenham obtido frequência ou tenham estatuto especial.
O aluno deverá obter uma classificação não inferior a 7.0 valores no 3º Teste. Neste caso será feita a média das notas:
CT = (T1+T2+T3)/3 arredondada às unidades.
Se a média dos testes (CT) for superior, ou igual, a 9,5 e inferior, ou igual, a 16,4, o aluno fica aprovado com essa classificação arredondada às unidades. Se a média dos testes (CT) for superior, ou igual, a 16,5 o aluno poderá optar entre ficar com a classificação final de 16 ou realizar uma prova complementar para defesa de nota.
Se a classificação da Avaliação Contínua for inferior, ou igual, a 9,4 o aluno poderá apresentar-se a Exame de Recurso.
3. Exame de Recurso
Podem apresentar-se a Exame de Recurso todos os alunos inscritos na disciplina que tenham obtido Frequência ou tenham estatuto especial.
Na data e hora previstas para a realização do Exame de Recurso em Janeiro qualquer aluno inscrito na disciplina que tenham obtido Frequência ou tenham estatuto especial pode realizar o exame ou pode optar por repetir um dos testes (no caso de não ter nota mínima no 3º Teste, esse deve ser o teste a repetir).
Se o aluno optar por repetir um dos testes e cumprir o critério da nota mínima no 3º Teste a classificação é calculada tal como no caso da Avaliação Contínua.
Se o aluno realizar o Exame de Recurso e o resultado do exame for superior, ou igual, a 9,5 e inferior, ou igual, a 16,4, o aluno fica aprovado com essa classificação arredondada às unidades. Se o resultado for superior, ou igual, a 16,5 o aluno poderá optar entre ficar com a classificação final de 16 ou realizar uma prova complementar para defesa de nota.