Geometria Diferencial
Código
10837
Unidade Orgânica
Faculdade de Ciências e Tecnologia
Departamento
Departamento de Matemática
Créditos
6.0
Professor responsável
Ana Cristina Malheiro Casimiro
Total de horas
22
Língua de ensino
Português
Objectivos
Introduzir os alunos nos resultados clássicos sobre a Geometria Diferencial de curvas e superfícies em ℝ3 e dar-lhes métodos de visualização geométrica de forma a permitir-lhes abrir horizontes para abordarem generalizações e as teorias geométricas modernas
Pré-requisitos
Álgebra Linear I e II, Geometria, Análise Matemática III e IV
Conteúdo
1. Estudo de Curvas em ℝ3: parametrização por comprimento de arco, curvatura e torção, triedro de Frenet.
2. Estudo de superfícies em ℝ3: primeira e segunda forma fundamental, curvaturas seccionais, principais, curvatura média e de Gauss, aplicação linear de Weingarten,
3. Subvariedades em ℝn: aplicações diferenciáveis, espaço tangente e cotangente, diferencial de uma aplicação diferenciável, imersões em ℝn, subvariedades parametrizadas e fechadas.
4. Geodésicas: definição, equações de geodésicas, exemplos e aplicações.
5. Teorema Egrégio de Gauss: isometrias de superfícies, equações de Codazzi-Mainardi. (opcional)
6. Teorema de Gauss-Bonnet (opcional)
7. Cálculo Tensorial: fundamentos de álgebra linear e multilinear, formas diferenciais, fluxo de um campo vetorial, parêntesis de Lie de dois campos vetoriais, interpretação geométrica, derivadas de Lie. (opcional)
8. Integração em Variedades: Orientação de variedades, integração de formas diferenciais, derivada exterior de uma forma diferencial, variedades com bordo, Teorema de Stokes.(opcional)
Bibliografia
1. M. P. Carmo, "Differential Geometry of curves and surfaces", Prentice Hall, 1976.
2. M. P. Carmo, "Geometria Riemanniana", Projecto Euclides, IMPA, 1988.
3. O’Neil, "Elementary differential geometry ", Academic Press, New York USA, 1966.
4. Pressley, "Elementary differential geometry ", Springer Undergraduate Mathematics Series, 2001.
5. Spivak, "Calculus on manifolds", Monograph Mathematics Series, 1965.
Método de ensino
Orientação tutorial do aluno, introduzindo e motivando o aluno nas matérias a estudar, problemas a resolver e esclarecimento de dúvidas sobre a matéria e resolução de exercícios.
Método de avaliação
A avaliação consiste na apresentação, escrita ou oral, por parte do aluno, dos exercícios propostos resolvidos.