Análise Matemática I A
Código
10969
Unidade Orgânica
Faculdade de Ciências e Tecnologia
Departamento
Departamento de Matemática
Créditos
9.0
Professor responsável
Ana Margarida Fernandes Ribeiro
Horas semanais
6
Total de horas
80
Língua de ensino
Português
Objectivos
Pretende-se que os alunos fiquem a conhecer rigorosamente:
1. A noção de limite de sucessões e de funções e os principais resultados associados.
2. As principais noções, resultados e aplicações do cálculo diferencial de uma variável, incluindo o estudo analítico de funções reais de uma variável real.
Pré-requisitos
O aluno deve ter os conhecimentos matemáticos correspondentes à conclusão do Ensino secundário.
Conteúdo
1. Números reais
1.1. Breve apresentação dos números: naturais, inteiros, racionais e reais.
1.2. Propriedades fundamentais dos números reais (noção de axiomática). Densidade dos racionais no conjunto dos reais.
1.3. Noções topológicas no conjunto dos números reais: vizinhança, interior, exterior, fronteira, conjunto aberto, conjunto fechado, fecho, ponto de acumulação e ponto isolado.
1.4. Princípio de indução matemática.
2. Sucessões de números reais
2.1. Definição de sucessão. Sucessões limitadas. Operações com sucessões. Sucessões crescentes, decrescentes e monótonas. Subsucessões. Existência de subsucessões monótonas para todas as sucessões de números reais.
2.2. Noção de limite em IR. Infinitamente grande. A recta acabada. Propriedades fundamentais dos limites.
2.3. Sublimites. Existência de sublimites das sucessões limitadas. Limite superior e limite inferior e suas propriedades.
2.4. Sucessão de Cauchy. IR como espaço completo.
3. Funções reais de variável real - limites e continuidade
3.1. Domínio, contradomínio, gráfico, monotonia, extremos. Função par, ímpar, limitada. Zeros. Restrição e prolongamento. Função injectiva, sobrejectiva e bijectiva.
3.2. Limite de uma função num ponto. Limite no infinito. Limites infinitos. Unificação dos conceitos de limite usando a recta acabada. Teorema de Heine. Limite e operações elementares.
3.3. Limite da função composta. Limites relativos: limite por valores diferentes e limites laterais. Existência de limites laterais das funções monótonas limitadas.
3.4. Função contínua num ponto. Função contínua à esquerda e à direita. Função contínua num conjunto. Teorema de Bolzano. Teorema de Weierstrass. Prolongamento por continuidade. Potenciação real.
3.5. Continuidade uniforme. Função lipschitziana. Continuidade uniforme e sucessões. Teorema de Cantor.
4. Funções reais de variável real - diferenciabilidade.
4.1. Derivada e sua interpretação física. Função diferenciável e interpretação geométrica da derivada. Relações entre diferenciabilidade e continuidade. Derivada e operações algébricas. Derivadas laterais.
4.2. Derivada da função composta. Derivada da função inversa. Funções trigonométricas inversas e respectivas derivadas.
4.3. Função derivada. Função de classe Cn e infinitamente diferenciáveis.
4.4. Extremo local (máximo e mínimo). Condição necessária sobre as derivadas laterais para a existência de extremo local.
4.5. Teoremas de Rolle, Darboux, Lagrange e do valor médio de Cauchy. Regra de Cauchy. Fórmula de Taylor. Levantamento de indeterminações.
4.6. Aplicação da fórmula de Taylor à determinação de extremos, do sentido da concavidade e de pontos inflexão. Assímptotas. Estudo de funções.
Bibliografia
1. Alves de Sá, A.; Louro, B. - Sucessões e Séries - Teoria e Prática, Livraria Escolar Editora, 2008.
2. Apostol, T. - Calculus, Blaisdell, 1967.
3. Campos Ferreira, J. - Introdução à Análise Matemática, Fundação Calouste Gulbenkian, 1982.
4. Elon Lages Lima - Curso de Análise - Projeto Euclides, Rio de Janeiro, 1989.
5. Figueira, M. - Fundamentos de Análise Infinitesimal, Textos de Matemática, vol. 5, Departamento de Matemática, Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa, 1996.
6. Lang, S. - Undergraduate Analysis, Springer, 1983.
7. Rudin, W. - Principles of Mathematical Analysis, McGraw-Hill, 1976.
Método de ensino
As aulas, todas teórico-práticas, consistem na exposição da teoria, ilustrada com exemplos e aplicações, e na resolução de exercícios.
A quase totalidade dos resultados é apresentada com a respectiva demonstração. Omitem-se demonstrações de carácter mais técnico que, em nossa opinião não contribuem significativamente para a formação do aluno.
Está à disposição dos alunos bibliografia adaptada, assim como folhas de exercícios propostos. Alguns destes exercícios são resolvidos na aula. A resolução dos restantes faz parte do trabalho pessoal do aluno. Quaisquer dúvidas são esclarecidas no decorrer das aulas ou nas sessões destinadas a atendimento de alunos.
Método de avaliação
1. Frequência
a) Para obter frequência à disciplina é necessário que o aluno
i) tenha, no máximo, 3 faltas injustificadas, se for aluno de 1ª inscrição.
ii) tenha assistido a, pelo menos, 2/3 das aulas dadas, se já esteve inscrito na disciplina.
b) Estão dispensados da obtenção de frequência os alunos que
i) tenham um estatuto especial (trabalhador estudante, militar, etc.),
ii) tenham obtido frequência à disciplina no ano lectivo anterior.
2. Requisitos
a) Só poderão efectuar qualquer das provas os alunos tenham feito a inscrição no Clip até uma semana antes da data da prova e que no acto da prova sejam portadores de um caderno de exame (em branco) e de um documento de identificação.
b) Para obter classificação na disciplina é necessário que o aluno tenha obtido frequência ou dela esteja dispensado. Os alunos que não satisfaçam uma destas duas condições estarão reprovados.
3. Testes
Realizam-se três testes durante o semestre.
a) Podem apresentar-se aos testes todos os alunos inscritos na disciplina que estejam em condições de obter frequência ou dela estejam dispensados.
b) Cada teste tem classificação de 0 a 20 valores com décimas.
b) A classificação dos testes é obtida pela média aritmética dos três testes, arredondada às unidades, sendo o aluno aprovado se tiver nota superior ou igual a 10 valores.
4. Exame
a) Todo o aluno ainda não aprovado na disciplina e que tenha obtido frequência ou que dela esteja dispensado pode apresentar-se a exame.
b) Se a classificação, arredondada às unidades, for inferior a 10, o aluno reprova. Se a classificação, arredondada às unidades, for superior, ou igual, a 10 o aluno fica aprovado com essa classificação.
5. Exame de melhoria de nota
a) Todo o aluno que pretenda obter melhoria de nota deve cumprir, para esse efeito, as formalidades legais de inscrição.
b) Para obter melhoria de nota, é necessário que o aluno se apresente a exame.
c) A classificação é obtida de acordo com b) do ponto 4. Se este resultado for superior ao já obtido anteriormente na disciplina, será tomado como nota final. Caso contrário, não se verifica melhoria de nota.