Análise Matemática III A

Código

10976

Unidade Orgânica

Faculdade de Ciências e Tecnologia

Departamento

Departamento de Matemática

Créditos

6.0

Professor responsável

Elvira Júlia Conceição Matias Coimbra

Horas semanais

6

Total de horas

84

Língua de ensino

Português

Objectivos

O essencial do programa é dedicado ao cálculo diferencial de funções reais de várias variáveis incluindo a regra de derivação das funções compostas e a derivação de funções definidas implicitamente através de equações e sistemas de equações.  É ainda aplicado o teorema das funções implícitas ao estudo da invertibilidade local de transformações pontuais. No que respeita ao breve parágrafo sobre linhas, o objectivo principal é resolver a questão da determinação da envolvente de uma família de linhas planas. No capítulo sobre equações diferenciais ordinárias pretende-se que o aluno se familiarize com as técnicas de resolução de equações diferenciais de primeira ordem lineares e não lineares e é dedicada especial atenção às equações diferenciais lineares de ordem superior à primeira.

Pré-requisitos

Pressupõe conhecimentos sobre assuntos leccionados quer em Análise Matemática I-A  quer em Análise Matemática II-A.

Conteúdo

1.	Funções reais de várias variáveis reais 1.1. O espaço Euclidiano n-dimensional. Métrica euclidiana. Espaços métricos. 1.2. Funções reais de várias variáveis – exemplos. Limites. Continuidade. 1.3. Derivadas parciais. Teorema de Schwarz. Diferencial. 1.4. Derivação de funções compostas. 1.5. Derivada direccional. 1.6. Teorema dos acréscimos finitos. 1.7. Fórmula de Taylor. 1.8. Transformações pontuais. 1.8.1. Teorema das funções implícitas. 1.8.2. Invertibilidade de transformações pontuais. 1.9. Extremos relativos.
2.	Linhas em IR2 2.1. Representações vectoriais, paramétricas e cartesianas. 2.2. Linhas regulares. 2.3. Equações da tangente e da normal a uma linha num ponto. 2.4. Envolvente de uma família de linhas planas. 2.5. Rectificação de linhas planas.
3.	Equações diferenciais ordinárias 3.1. Equações diferenciais de primeira ordem. 3.1.1. Diferenciais exactas. 3.1.2. Métodos do factor integrante. 3.1.3. Equações de variáveis separáveis. 3.1.4. Equações homogéneas. 3.1.5. A equação linear de primeira ordem. 3.1.6. Equações não resolvidas em ordem a dy/dx. 3.2. Equações diferenciais de ordem superior à primeira. 3.2.1. Equações onde não aparece explicitamente a variável independente ou a função incógnita. 3.2.2. Equação diferencial linear de ordem n, homogénea. 3.2.3. Método da variação das constantes arbitráris para a resolução da equação diferencial linear de ordem n não homogénea. 3.2.4 Determinação de soluções particulares de uma equação diferencial linear de ordem n, não homogénea de coeficientes constantes. 3.2.5 Equação de Euler.

Bibliografia

1.	Apostol, T. M. - Volume I e Volume II - Blaidsell Publishing Company
2.	Braun, Martin - Differential Equations and their Applications, Springer-Verlag
3.	Freitas, A.C. - Linhas e Superfícies - Aplicações; Equações diferenciais Ordinárias - Notas de lições para o 2º ano das Licenciaturas da FCT.
4.	Kreysig - Advanced Engineering Mathmatics
5.	Taylor, A. E.; Man, W. R. - Advanced Calculus

Método de ensino

As matérias  teóricos são apresentadas e explicadas na primeira parte da aula teórico-prática.  Estes conceitos  são imediatamente aplicados na resolução de problemas.  Os alunos são incentivados a  resolver exercicios  escolhidos para trabalho de casa.

Método de avaliação

A avaliação é feita por três testes ao longo do semestre ou um exame final. A classificação final é a média ponderada da classificação das provas, ou, em alternativa, a nota obtida no exame final.

Cursos

• Matemática