Topologia e Introdução à Análise Funcional
Código
10984
Unidade Orgânica
Faculdade de Ciências e Tecnologia
Departamento
Departamento de Matemática
Créditos
6.0
Professor responsável
Elvira Júlia Conceição Matias Coimbra
Horas semanais
6
Total de horas
84
Língua de ensino
Português
Objectivos
Nesta disciplina pretende-se que os alunos se familiarizem com os conceitos básicos, princípios e métodos em Topologia e Análise Funciona. Embora seja dada uma ênfase especial aos espaços lineares normados, de dimensão arbitrária, são desenvolvidas ideias e estabelecidos alguns resultados fundamentais em espaços lineares topológicos. São estabelecidas as báses da teoria mais avançada dos espaços normados, espaços de Banach e espaços de Hilbert. Sem a utilização da referida teoria, o uso destes espaços e suas aplicações seria bastante limitada.
Pré-requisitos
Pressupõe que os alunos dominem os assuntos leccionados nasdisciplinas de Álgebra Linear e Análise Matemática.
Conteúdo
1. Espaços métricos. Sucessões. Sucessões de Cauchy e Sucessões convergentes. Espaços métricos completos.
2. Espaços Topológicos. Subespaços. Topologia relativa. Separabilidade. Espaços de Hausdorff.
3. Continuidade. Funções contínuas. Homeomorfismos. Compacidade. Conjuntos compactos. Conjuntos conexos.
4. Espaços lineares normados. Espaços lineares normados de dimensão finita. Compacidade e dimensão finita. Operadores lineares limitados e operadores lineares contínuos. Espaços de Banach.
5. Espaços lineares com produto interno. Espaços de Hilbert. Conjuntos ortonormados e sucessões. Sucessões e conjuntos ortonormados maximais. Séries relacionadas com sucessões e conjuntos ortonormados. Complementos ortogonais e somas directas. Representações de funcionais em espaços de Hilbert (teorema de Riesz).
6. Algumas aplicações à teoria da aproximação. Aproximação em espaços de Hilbert.
7. Teoremas fundamentais em espaços de Banach
Bibliografia
1. J. Dieudonné – Foundations of Modern Analysis – Academic Press
2. Eloon Lages Lima – Espaços métricos – Projecto Euclides
3. Kreysig, E. – Introductory Functional Analysis with Applications – John Wiley and Sons.
4. Machado, A.. – Topologia – Universidade Aberta.
5. Taylor, A. E. – Introduction to Functional Analysis – Wiley.
6. Yosida– Functional Analysis – Springer.
Método de ensino
As matérias teóricos são apresentadas e explicadas na aula teórica (3h/semana). Os diversoes temas são aplicados pelos alunos na turma prática (3h/semana).
Método de avaliação
A avaliação é feita por três testes ao longo do seméstre ou um exame final. A classificação final é a média ponderada da classificação dos testes, ou, em alternativa, a nota obtida no exame final.