Análise Complexa
Código
7813
Unidade Orgânica
Faculdade de Ciências e Tecnologia
Departamento
Departamento de Matemática
Créditos
6.0
Professor responsável
Luís Manuel Trabucho de Campos
Horas semanais
5
Total de horas
70
Língua de ensino
Português
Objectivos
Estudo dos aspectos básicos da teoria das funções de variável complexa, tendo como objectivo adquirir algumas noções sobre propriedades geométricas de tipo global das funções analíticas e propriedades das singularidades isoladas das mesmas.
Pré-requisitos
Bons conhecimentos de análise real (uma e mais variáveis), de geometria analítica no plano e da topologia usual de R2.
Conteúdo
1. Funções de variável complexa: Aritmética dos números complexos (revisão). Definição das funções elementares. Limites e continuidade. Diferenciabilidade – funções analíticas. Diferenciação das funções elementares. Funções harmónicas. Aplicações conformes.
2. Integração de funções de variável complexa – teorema de Cauchy: Integração de funções de variável complexa. Teorema de Cauchy. Fórmula integral de Cauchy. Teoremas fundamentais: teorema de Morera, desigualdades de Cauchy, teorema de Liouville, teorema fundamental da Álgebra, teorema do máximo do módulo.
3. Séries de potências; séries de Laurent: Convergência pontual e uniforme de sucessões e séries de funções. Séries de potências. Teorema de Taylor; analiticidade. Singularidades – séries de Laurent. Singularidades isoladas; classificação de singularidades isoladas.
4. Resíduos: Métodos de cálculo de resíduos. Teorema dos resíduos. Aplicação ao cálculo de integrais (reais e complexos).
Bibliografia
L. V. Ahlfors, Complex Analysis, McGraw-Hill (1979)
M. A. Carreira e M. S. Nápoles, Variável complexa - teoria elementar e exercícios resolvidos, McGraw-Hill (1998)
S. Lang, Complex Analysis, Springer (1999), ISBN 0-387-98592-1
J. E. Marsden and M. J. Hoffman, Basic Complex Analysis - Third Edition, Freeman (1999), ISBN 0-7167-2877-X
Método de ensino
Nas aulas, a teoria é exposta e são apresentados exemplos de aplicação e ilustração. Os resultados apresentados são demonstrados. É dada oportunidade aos alunos de trabalhar na resolução de problemas constantes de uma lista previamente disponibilizada, com o apoio do professor caso o necessitem. Os resultados relevantes ilustrados pelos exercícios são objecto de comentário do professor.
Método de avaliação
1. A avaliação de conhecimentos será feita através de três testes (T1, T2, T3).
2. Os testes terão todos o mesmo peso. Cada teste será classificado de 0 a 20 valores, com aproximação às décimas.
3. Para serem aprovados, os alunos deverão obter classificação final igual ou superior a 10 valores. A classificação final (CF) é obtida arredondando às unidades o valor
V= (C1+C2+C3)/3,
onde C1, C2 e C3 representam as classificações dos testes T1, T2, T3, respectivamente.
Exemplo: se V=12.4 então CF=12; se V=12.5 então CF=13.
4. Haverá uma época de recurso e, quando se aplicar, uma época especial. A classificação final será um valor inteiro de 0 a 20. O aluno será aprovado se obtiver uma classificação final igual ou superior a 10 valores.