Equações Diferenciais
Código
7814
Unidade Orgânica
Faculdade de Ciências e Tecnologia
Departamento
Departamento de Matemática
Créditos
6.0
Professor responsável
Luís Manuel Trabucho de Campos
Horas semanais
5
Total de horas
70
Língua de ensino
Português
Objectivos
Pretende-se que o aluno apreenda as ideias básicas sobre Equações Diferencias Ordinárias, Equações com Derivadas Parciais: métodos e aplicações.
Pré-requisitos
Conhecimentos de Análise e Álgebra, adquiridos nas disciplinas de Análise Matemática IA, IIA e III A, Álgebra Linear I e II
Conteúdo
1. Equações diferenciais ordinárias (EDO)
1.1. Generalidades. Exemplos e aplicações.
1.2. Teorema de existência e unicidade de solução.
1.3. Sistemas de equações diferenciais ordinárias.
2. Equações com derivadas parciais (EDP)
Método das Carecterísticas.
2.1. Primeiros exemplos de EDP.
Condições iniciais e de fronteira. Problemas bem postos.
2.2. Equações lineares de primeira ordem.
2.3. Equações quase-lineares de primeira ordem.
2.4. Equações de segunda ordem. Classsificação.
2.5. Redução das equações de segunda ordem à forma canónica.
3. Equações com derivadas parciais (EDP)
Método de Fourier.
3.1. Separação de variáveis e princípio da sobreposição.
3.2. Séries de Fourier (revisão).
3.3. Teoria de Sturm-Liouville
3.4. Equação de propagação das ondas.
3.5. Equação de propagação do calor.
3.6. Equação de Poisson.
3.7. Existência e unicidade de solução. Princípio do Máximo.
4. Teoria Qualitativa das Equações Diferenciais
4.1 Linhas Isoclinas. Curvas Integrais.
4.2 Pontos de Equilíbrio. Estabilidade. Estabilidade Assimptótica.
4.3 Órbitas. Planos de Fase.
Bibliografia
1. A. Bivar Weinholtz, Equações Diferenciais – uma introdução, Textos de Matemática, Vol. 7, Departamento de Matemática da FCUL, 2000.
2. M. Braun. Differential Equations and their applications (4th edition). Springer-Verlag, 1993.
3. E. Kreyszig. Advanced engineering mathematics (8th edition). John Wiley & Sons, 1999.
4. C. Póvoas, Métodos Matemáticos da Física-Uma Introdução, Textos de Matemática, Vol. 17, Departamento de Matemática da FCUL, 2002.
5. M. Ramos, Curso Elementar de Equações Diferenciais, Textos de Matemática, Vol. 14, Departamento de Matemática da FCUL, 2000.
6. S. Ross. Differential Equations (3rd edition). John Wiley & Sons, 1984.
Método de ensino
As aulas terão um carácter teorico-prático. Além da exposição da matéria, que é ilustrada com exemplos de aplicação, são propostos, para resolução pelos alunos, exercícios de aplicação dos métodos e resultados apresentados.
Quaisquer dúvidas são esclarecidas no decorrer das aulas ou nas sessões destinadas a atendimento de alunos ou ainda em sessões combinadas directamente entre aluno e professor.
Método de avaliação
1. A avaliação de conhecimentos será feita através de três testes (T1, T2, T3).
2. Os testes terão todos o mesmo peso. Cada teste será classificado de 0 a 20 valores, com aproximação às décimas.
3. Para serem aprovados, os alunos deverão obter classificação final igual ou superior a 10 valores. A classificação final (CF) é obtida arredondando às unidades o valor
V= (C1+C2+C3)/3,
onde C1, C2 e C3 representam as classificações dos testes T1, T2, T3, respectivamente.
Exemplo: se V=12.4 então CF=12; se V=12.5 então CF=13.
4. Haverá uma época de recurso e, quando se aplicar, uma época especial. A classificação final será um valor inteiro de 0 a 20. O aluno será aprovado se obtiver uma classificação final igual ou superior a 10 valores.