Complementos de Análise Funcional
Código
11630
Unidade Orgânica
Faculdade de Ciências e Tecnologia
Departamento
Departamento de Matemática
Créditos
6.0
Professor responsável
Oleksiy Karlovych
Língua de ensino
Português
Objectivos
No final desta unidade curricular o estudante terá adquirido conhecimentos, aptidões e competências básicas na área de análise funcional que lhe permitam:
- Compreender conteúdos mais avançados na área;
- Ser capaz de iniciar investigação num tópico da área.
Conteúdo
1.Espaços vetoriais topológicos. Propriedades de separação. Aplicações lineares. Espaços de dimensão finita. Metrizibilidade. Limitação e continuidade. Seminormas e convexidade local. Espaço quociente. Exemplos.
2. Completude. Categoria de Baire. Teorema de Banach-Steinhaus. Teorema da aplicação aberta. Teorema do gráfico fechado. Aplicações bilineares.
3. Convexidade. Teorema de Hahn-Banach. Topologias fracas. Conjuntos convexos compactos. Integração vetorial. Funções holomorfas.
4. Dualidade em espaços de Banach. Espaço dual normado de um espaço normado. Operadores adjuntos. Operadores compactos.
5. Álgebras de Banach. Homomorfismos complexos. Propriedades básicas de espectro. Cálculo simbólico. Grupo dos elementos invertíveis.
6. Álgebras de Banach comutativas. Ideais e homomorfismos. Transformada de Gelfand. Álgebras com involução. Funcionais positivos. Introdução às álgebras não comutativas.
Bibliografia
A. Bressan, Lecture notes on functional analysis with applications to linear partial differential equations, American Mathematical Society, 2013.
J. Cerdà, Linear functional analysis, American Mathematical Society, 2010.
E. Kaniuth, A course in commutative Banach algebras, Springer, 2009.
E.Kreyszig, Introductory functional analysis with applications, John Wiley & Sons, 1978.
W. Rudin, Functional analysis, McGraw-Hill, 1991.