Teoria Combinatória de Grupos
Código
11638
Unidade Orgânica
Faculdade de Ciências e Tecnologia
Departamento
Departamento de Matemática
Créditos
6.0
Professor responsável
Oleksiy Karlovych
Língua de ensino
Português
Objectivos
No final desta unidade curricular o estudante terá adquirido conhecimentos, aptidões e competências que lhe permitam:
1) conhecer profundamente os conceitos fundamentais da teoria combinatória de grupos, tais como de grupo livre, apresentação, produto livre e produto de grafos, diagramas de Van Kampen, HNN extensões e produto amalgamado e de grupo hiperbólico;
2) ser capaz de enunciar e esquematizar a prova dos resultados essenciais, como o Teorema de Seifert-Van Kampen, ou o Teorema de Nielsen-Schreier, o Teorema de Kurosh ou o Lemma de Svarc- Milnor;
3) saber aplicar os resultados fundamentais da teoria apresentada;
4) obter familiaridade com as tendências recentes da teoria combinatória e geométrica de grupos.
Conteúdo
1. Grupos livres, suas propriedades e seus subgrupos via grafos de Stallings. Representações de grupos livres.
2. Grupos dados por geradores e relações. O cálculo de apresentações e do método de Reidemeister e Schreier. grafos de Cayley e a métrica de palavras. Transformações de Tietze. Diagramas de Van Kampen e Teorema de Van Kampen.
3. Grupos hiperbólicos, quasi-isometrias e subgrupos quasi-convexos.
4. Ações de Grupos sobre conjuntos. Ações de grupos em grafos por isometrias e a teoria de Bass-Serre, produtos livres amalgamados e extensões HNN, grafos de grupos e ações de grupo em árvores simpléticas.
5. Um ou mais dos seguintes tópicos: grupos com uma única relação; o estudo das desigualdades isoperimétricas; o Teorema Novikov-Boone; o Teorema de mergulho de Higman; Grupos de Grigorchuk de crescimento intermédio; grupos automáticos, etc.
Bibliografia
G. Baumslag, Topics in combinatorial group theory, Springer, 1993.
O. Bogopolski , Introduction to group theory, EMS, 2008.
W. Dicks and M. Dunwoody, Groups acting on graphs, Cambridge University Press, 1989.
R. Lyndon and P. Schupp, Combinatorial group theory, Springer, 2001.
P. de la Harpe, Topics in geometric group theory. Chicago lectures in Mathematics, University of Chicago Press, Chicago, IL, 2000.
J. Rotman, An introduction to the theory of groups, Springer, 4th Ed, 1995.