Cálculo das Variações e Aplicações
Código
9635
Unidade Orgânica
Faculdade de Ciências e Tecnologia
Departamento
Departamento de Matemática
Créditos
6.0
Professor responsável
Oleksiy Karlovych
Língua de ensino
Português
Objectivos
Obter uma perspetiva moderna do Cálculo das Variações e das suas aplicações à Mecânica dos Meios Contínuos e Problemas de Tratamento de Imagem. O aluno deve ser capaz de ler e expor um artigo científico simples sobre o assunto.
Conteúdo
1. Introdução: problema fundamental do Cálculo das Variações, métodos clássicos, método direto, relaxação.
2. Preliminares: convergência fraca e convergência forte, equi-integrabilidade, variável macroscópica e variável microscópica, teorema de Riemann-Lebesgue.
3. Método direto: existência de soluções via semi-continuidade inferior sequencial fraca para funcionais em espaços de Sobolev (caso escalar e caso vetorial). Noções de convexidade, policonvexidade, quasiconvexidade e rank-1 convexidade.
4. Relaxação em espaços de Sobolev.
5. Poderão ainda ser abordadas outras técnicas do Cálculo das Variações, como gama-convergência, simetrização de Schwarz e simetrização de Steiner ou o método das categorias de Baire para inclusões diferenciais. Estes métodos são ilustrados com aplicações em otimização de forma com homogeneização, redução dimensional, problemas de tratamento de imagem, desigualdades isoperimétricas, formação de micro-estruturas e transição de fase.
Bibliografia
B. Dacorogna, Direct Methods in the Calculus of Variations, Second Edition, Springer-Verlag, New-York 2007.
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I. Fonseca and G. Leoni, Modern Methods in the Calculus of Variations: Spaces, Springer Monographs in Mathematics, Springer, 2007.
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