Análise Matemática III D
Código
7544
Unidade Orgânica
Faculdade de Ciências e Tecnologia
Departamento
Departamento de Matemática
Créditos
6.0
Professor responsável
João de Deus Mota Silva Marques
Horas semanais
6
Total de horas
40
Língua de ensino
Português
Objectivos
- Domínio dos aspectos básicos da teoria das funções de variável complexa.
- Estudo das equações diferenciais ordinárias. Pretende-se que o aluno se familiarize com as várias técnicas de resolução de equações diferenciais lineares e não lineares, sendo dedicada especial atenção às equações diferenciais lineares de ordem superior à primeira.
- Os alunos devem saber utilizar as transformadas de Laplace para resolver equações diferenciais e integrais.
- O aluno deve aprender o essencial sobre séries de Fourier e a sua aplicação à resolução de equações diferenciais com derivadas parciais.
Pré-requisitos
Conhecimentos de Análise ao nível das disciplinas de Análise Matemática I e Análise Matemática II.
Conteúdo
I – ANÁLISE COMPLEXA
Funções Analíticas
1. Introdução aos números complexos. Propriedades dos números complexos. Números complexos na forma trigonométrica. Operações com números complexos. Noções topológicas.
2. Isometrias do plano. Classificação das isometrias do plano e estudo das respectivas representações por funções de variável complexa. Homotetias do plano e sua representação por algumas funções de variável complexa. Funções elementares: função exponencial, logaritmo, funções trigonométricas, funções trigonométricas inversas, funções hiperbólicas, potências complexas. Funções contínuas.
3. Funções analíticas. Condições de Cauchy-Riemann. Transformações conformes. Transformação de regiões por transformações conformes elementares. A transformação de Joukowski.
II- EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
1. Equações diferenciais ordinárias de primeira ordem. Generalidades: Campo de direções; curvas integrais e soluções. Soluções explícitas e soluções implícitas. Equações autónomas e soluções de equilíbrio. A equação linear de primeira ordem. Equação de Bernoulli e equação de Riccati. Diferenciais exactas. Factor integrante. Equações de variáveis separáveis.
2.Teorema de existência e unicidade de solução de equações diferenciais de primeira ordem.
3.Equações diferenciais de ordem superior à primeira. A equação diferencial linear de ordem n.Generalidades: Equações homogéneas, polinómio característico, sistemas fundamentais de soluções. O wronskiano e independência linear de soluções. Método da variação das constantes arbitrárias. A equação diferencial linear de ordem n e coeficientes constantes. A equação de Euler. Estudo detalhado da equação diferencial linear homogénea de segunda ordem. Noção de ressonância
3. Sistemas de equações diferenciais lineares de coeficientes constantes. Generalidades: Estrutura das soluções;base do espaço solução; relação entre o espectrodo sistema linear associado e a estabilidade das soluções de equilíbrio.
III- INTRODUÇÃO AO ESTUDO DAS EQUAÇOES DIFERENCIAIS COM DERIVADAS PARCIAIS
1. Representação em séries de Fourier de funções periódicas. Estudo da convergência de uma série de Fourier. Séries de Fourier de funções pares e de funções ímpares.
2. Equações com derivadas parciais. Generalidades. Classificação das equações lineares de segunda ordem. O método de separação de variáveis. Aplicação na resolução de equações da Física Matemática.
3. A equação de Navier-Stokes. Noção de lei de conservação; noção de derivada material. A equação de Euler para líquidos incompressíveis; conservação da massa, do momento e da energia. Caso da equação de Navier-Stokes: estudo de soluções exactas em diferentes contextos unidimensionais.
Bibliografia
J. Marsden and M.Hoffman, Basic Complex Analysis (Freeman, 1999).
R. Churchill, J. Brown and R. Verhey, Complex Variables and Applications (McGraw-Hill, 1976).
D. Zill and P. Shanahan, Complex Analysis with applications (Jones and Bartlett Publishers, 2003).
Apostol, T.M. - Calculus - Volume I e Volume II - Blaidsell Publishing Company.
Braun, Martin - Differential Equations and their Applications, Springer-Verlag
Freitas, A.C. - Análise Infinitesimal - Volume 1 e Volume 2 - Notas de Lições para alunos do 2º ano das Licenciaturas da FCT.
Howard, Anton - Calculus: A New Horizon -John Wiley and Sons.
Kreysig - Advanced Engineering Mathematics
Taylor, A.E.;-- Man, W.R. - Advanced Calculus - John Wiley and Sons.
Zill, D. G. ; Cullen, M.R. - Differential equations with boundary value problems; 6th edition.
Método de avaliação
Método de Avaliação – Análise Matemática III-D
Em conformidade com o Regulamento de Avaliação de Conhecimentos da Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade Nova de Lisboa, revisto a 30 de Julho de 2013, a disciplina de Análise Matemática III-D tem o seguinte método de avaliação:
Frequência
Será atribuída frequência aos alunos que tenham assistido a pelo menos dois terços do número total de aulas. Estão dispensados de Frequência os alunos com que possuam um estatuto que dela os isente.
Avaliação contínua
A avaliação contínua da disciplina é efetuada através da realização de três testes escritos (avaliação teórico e prática) durante o semestre, cada um com duração não inferior a uma hora e meia. A cada teste escrito será atribuída uma classificação (t1,t2 e t3) na escala de 0 a 20 arredondada às décimas.
O terceiro teste requer uma nota mínima de 7.5 ( t3≥ 7.5).
A classificação final da Avaliação Contínua "AC" é calculada arredondando
(t1+t2+t3)/3
às unidades, pelas convenções usuais.
O aluno é aprovado por avaliação contínua se tiver obtido frequência de acordo com as regras acima explicitadas se t3 ≥ 7.5 e se AC ≥10
Exame
Os alunos reprovados por avaliação contínua a quem tenha sido atribuída frequência, ou dela tenham sido dispensados, poderão apresentar-se a exame.
O exame consiste numa prova escrita de duração nunca inferior a 3 horas que sobre a totalidade dos conteúdos da disciplina.
Ao exame será atribuída uma classificação inteira entre 0 e 20 valores, estando o aluno aprovado à disciplina, com essa classificação, se esta for superior ou igual a 10 valores.
Defesa de Nota
Os alunos com uma classificação final superior ou igual a 18 valores deverão realizar uma prova de defesa de nota. A não realização desta prova conduz a uma classificação final de 17 valores na disciplina. A nota final de um aluno que realize a prova de defesa de nota nunca será inferior a 17 valores.
Melhoria de Classificação
Os alunos aprovados por avaliação contínua poderão requerer, mediante o cumprimento de todas as disposições impostas pela FCT-UNL, melhoria de classificação. Nesse caso, poderão efetuar o exame. A classificação final será o máximo entre as classificações obtidas em avaliação contínua e em exame.
Condições para a realização das provas escritas (testes e exame)
Poderão apresentar-se a cada um dos testes da Avaliação Contínua e ao Exame os alunos regularmente inscritos no Clip. A inscrição deverá ser feita até pelo menos uma semana antes da realização da prova (teste ou exame). No dia da prova cada aluno deverá possuir um caderno de exame em branco que será entregue no início da prova ao docente que estiver a efectuar a vigilância. Durante a prova o aluno deverá ser portador de documento de identificação oficial com fotografia recente.
Em tudo o que presente Regulamento seja omisso valem os Regulamentos Gerais da FCT-UNL.