Análise Matemática II B
Código
10476
Unidade Orgânica
Faculdade de Ciências e Tecnologia
Departamento
Departamento de Matemática
Créditos
6.0
Professor responsável
João Pedro Bizarro Cabral, Oleksiy Karlovych
Horas semanais
5
Total de horas
70
Língua de ensino
Português
Objectivos
No final desta unidade curricular o estudante terá adquirido conhecimentos, aptidões e competências que lhe permitam:
- Trabalhar com noções elementares de topologia em Rn, (vizinhança, aberto, fechado, etc.);
- Compreender a noção rigorosa de limite, continuidade e diferenciabilidade de funções vectoriais de variável real.
- Aplicar as funções vectoriais de variável real nas parametrizações das curvas e no estudo das respectivas propriedades.
- Compreender a noção rigorosa de limite e continuidade de funções reais e vectoriais de várias variáveis e calcular limites.
- Conhecer a noção de derivada parcial, diferenciabilidade, os teoremas da função implícita e da função inversa.
- Conhecer o desenvolvimento de Taylor e aplicações ao estudo de funções e cálculo de extremos.
- Conhecer a noção de integral duplo e triplo e saber calcular estes integrais usando as coordenadas mais adequadas.
- Conhecer algumas aplicações dos integrais duplo e triplo.
- Conhecer a noção de integral de linha, suas aplicações e respectivos resultados fundamentais.
- Conhecer a noção de integral de superfície, aplicação ao cálculo do fluxo e respectivos resultados.
Pré-requisitos
Cálculo diferencial e integral em R. Rudimentos de cálculo matricial.
Conteúdo
1. Noções Topológicas em Rn
1.1 Normas e métricas
1.2 Noções topológicas em Rn
2. Funções de Várias Variáveis
2.1 Funções reais de várias variáveis reais
2.2 Funções vetoriais
2.3 Limites e continuidade
3. Cálculo Diferencial em Rn
3.1 Derivadas parciais. Teorema de Schwarz
3.2 Diferencial
3.3 Derivada direcional
3.4 Diferenciabilidade da função composta
3.5 Fórmula de Taylor
3.6 Teorema da Função Implícita
3.7 Teorema da Função Inversa
3.8 Extremos relativos
3.9 Extremos condicionados. Multiplicadores de Lagrange
4. Cálculo Integral em Rn
4.1 Integrais duplos
4.2 Integrais iterados: Teorema de Fubini
4.3 Mudança de variável em integrais duplos
4.4 Integrais duplos em coordenadas polares
4.5 Aplicações dos integrais duplos
4.6 Integrais triplos
4.7 Mudança de variável em integrais triplos
4.8 Integrais triplos em coordenadas cilíndricas e em coordenadas esféricas
4.9 Campos vetoriais
4.10 Integrais de linha
4.11 Teorema fundamental do cálculo integral para integrais de linha
4.12 Teorema de Green
4.13 Divergência e rotacional
4.14 Áreas de superfícies paramétricas
4.15 Integrais de superfície
4.16 Teorema de Stokes
4.17 Teorema da divergência
Bibliografia
H. Anton, I. Bivens, S. Davis, Cálculo, volume 2, 8ª edição, Bookman, Porto Alegre, 2007.
G. E. Pires, Cálculo diferencial e integral em Rn, IST Press, Lisboa, 2012.
Método de ensino
As aulas teóricas consistem em exposição da matéria, que é ilustrada com exemplos de aplicação.
As aulas práticas consistem na resolução de exercícios de aplicação dos métodos e resultados apresentados nas aulas teóricas. Estes exercícios são escolhidos numa lista fornecida pelos docentes.
Quaisquer dúvidas são esclarecidas no decorrer das aulas ou nas sessões destinadas a atendimento de alunos ou ainda em sessões combinadas directamente entre aluno e professor.
Método de avaliação
Frequência
Será concedida Frequência a qualquer aluno que não falte injustificadamente a mais do que três das aulas práticas lecionadas, correspondentes ao turno em que se encontra inscrito. Um aluno está dispensado de frequência se tiver estatuto especial previsto no regulamento de avaliação da FCT/UNL. O facto de um aluno ter obtido Frequência em alguma edição anterior da disciplina não o dispensa de a obter na presente edição.
A avaliação de conhecimentos é realizada através de Avaliação Contínua ou Exame de Recurso.
Avaliação Contínua
Ao longo do semestre serão realizados três testes com duração de 1 hora. Cada teste tem classificação de 20 valores.
1º Teste (T1): Podem apresentar-se ao 1º teste todos os alunos inscritos na disciplina.
2º Teste (T2): Podem apresentar-se ao 2º teste todos os alunos inscritos na disciplina.
3º Teste (T3): Podem apresentar-se ao 3º teste todos os alunos inscritos na disciplina que tenham obtido frequência ou tenham estatuto especial. O aluno deverá obter uma classificação não inferior a 7.0 valores no 3º Teste.
Se a classificação do 3º teste (T3) for não inferior a 7.0 valores e a média dos testes CT=(T1+T2+T3)/3, arredondada às unidades, for superior, ou igual, a 10 valores, o aluno fica aprovado com a classificação CT, arredondada às unidades. Se a classificação do 3º teste (T3) for inferior a 7.0 valores ou a média dos testes CT, arredondada às unidades, for inferior a 10 valores, o aluno poderá apresentar-se a Exame de Recurso.
Exame de Recurso
Podem apresentar-se a Exame de Recurso todos os alunos inscritos na disciplina que tenham obtido Frequência ou tenham estatuto especial.
Na data e hora previstas para a realização do Exame de Recurso em Janeiro qualquer aluno inscrito na disciplina que tenha obtido Frequência ou tenha estatuto especial e que não tenha obtido aprovação na Avaliação Contínua pode realizar o exame de 3 horas ou pode optar por repetir um dos testes de 1 hora (no caso de não ter classificação mínima de 7.0 valores no 3º Teste, esse deve ser o teste a repetir).
Se o aluno optar por repetir um dos testes, a classificação é calculada tal como no caso da Avaliação Contínua.
Se o aluno realizar o Exame de Recurso e a classificação do exame, arredondada às unidades, for superior, ou igual, a 10 valores, o aluno fica aprovado com essa classificação.
Melhoria de nota
Os alunos têm direito de efetuar melhoria de nota, mediante inscrição na divisão académica da FCT nos prazos fixados, na época de recurso. Nesse caso, poderão efetuar o Exame de 3 horas ou repetir um dos Testes de 1 hora como descrito na alínea anterior.
Logística
Com o objetivo de racionalizar os recursos da FCT (instalações, pessoal docente e pessoal não docente), só poderão efetuar qualquer das provas os alunos que se inscrevam para o efeito através do CLIP, no decurso do período aí estipulado. Só poderão efetuar qualquer das provas os alunos que, no ato da prova, sejam portadores de um documento oficial de identificação, onde conste uma fotografia (por exemplo, Cartão de Cidadão, Bilhete de Identidade, Passaporte, algumas versões de Cartão de Estudante) e caderno de exame em branco.
Considerações finais
Em tudo o que presente Regulamento seja omisso valem os Regulamentos Gerais da FCT-UNL.
Oleksiy Karlovych
7 de setembro de 2016