Geometria Diferencial
Código
10837
Unidade Orgânica
Faculdade de Ciências e Tecnologia
Departamento
Departamento de Matemática
Créditos
6.0
Língua de ensino
Português
Objectivos
Introduzir os alunos nos resultados clássicos sobre a Geometria Diferencial de curvas e superfícies em ℝ3 e dar-lhes métodos de visualização geométrica de forma a permitir-lhes abrir horizontes para abordarem generalizações e as teorias geométricas modernas
Pré-requisitos
Álgebra Linear I e II, Geometria, Análise Matemática III e IV
Conteúdo
1. Estudo de Curvas em ℝ3: parametrização por comprimento de arco, curvatura e torção, triedro de Frenet.
2. Estudo de superfícies em ℝ3: primeira e segunda forma fundamental, curvaturas seccionais, principais, curvatura média e de Gauss, aplicação linear de Weingarten,
3. Subvariedades em ℝn: aplicações diferenciáveis, espaço tangente e cotangente, diferencial de uma aplicação diferenciável, imersões em ℝn, subvariedades parametrizadas e fechadas.
4. Geodésicas: definição, equações de geodésicas, exemplos e aplicações.
5. Teorema Egrégio de Gauss: isometrias de superfícies, equações de Codazzi-Mainardi. (opcional)
6. Teorema de Gauss-Bonnet (opcional)
7. Cálculo Tensorial: fundamentos de álgebra linear e multilinear, formas diferenciais, fluxo de um campo vetorial, parêntesis de Lie de dois campos vetoriais, interpretação geométrica, derivadas de Lie. (opcional)
8. Integração em Variedades: Orientação de variedades, integração de formas diferenciais, derivada exterior de uma forma diferencial, variedades com bordo, Teorema de Stokes.(opcional)
Bibliografia
1. M. P. Carmo, Differential Geometry of curves and surfaces, Prentice Hall, 1976.
2. Curves and Surfaces, Montiel and Ros, GSM 19, AMS
3. Pressley, Elementary differential geometry, Springer Undergraduate Mathematics Series, 2001.
4. M. P. Carmo, Geometria Riemanniana, Projecto Euclides, IMPA, 1988.
5. Spivak, Calculus on manifolds, Monograph Mathematics Series, 1965.
Método de ensino
Orientação tutorial do aluno, com indicações sobre matérias a estudar, problemas a resolver e esclarecimento de dúvidas sobre a matéria e resolução de problemas.
Método de avaliação
Método de avaliação
Frequência:
É atríbuida frequência aos alunos que entreguem a resolução de todas as listas de exercícios designadas em cada sessão. Estao dispensados de frequência os alunos que tenham um estatuto especial previsto na lei.
Avaliação Contínua:
Em cada sessão será designado uma lista de exercicíos aos alunos, cuja resolução devem entregar na sessão seguinte e possivelmente efectuar uma exposição oral desta. A cada lista de exercícios será atribuida uma nota, LTi, entre 0 e 20 valores. Para os alunos que obtiveram frequência ou que estão dispensados desta, a nota final será a soma de 60% da média aritmética das notas LTi e 40% da nota obtida num trabalho final sobre um tema a decidir.
Época de recurso :
Podem apresentar-se à época de recurso todos os alunos regularmente inscritos que tenham frequência ou estejam dispensados de frequência e que não tenham obtido aprovação na avaliação contínua. Esta é composta por um exame de três horas.
Os alunos que tenham obtido aprovação na cadeira podem efectuar melhoria de nota, mediante inscrição na divisão académica da FCT nos prazos fixados, na época de recurso.