Análise Matemática III C
Código
5004
Unidade Orgânica
Faculdade de Ciências e Tecnologia
Departamento
Departamento de Matemática
Créditos
6.0
Professor responsável
Ana Maria de Sousa Alves de Sá, José Maria Nunes de Almeida Gonçalves Gomes
Horas semanais
5
Total de horas
70
Língua de ensino
Português
Objectivos
Definimos como objectivos principais:
1) Aprendizagem de noções fundamentais sobre séries numéricas e séries de potências.
2) Aprendizagem de técnicas fundamentais de resolução de certas equações de primeira ordem (equação linear, equação de variáveis separáveis, equação diferencial exacta) assim como de resultados teóricos relevantes (Teorema de Existência e Unicidade de Picard). Conhecimento de algumas aplicações clássicas das equações diferenciais e aptidão a modelar certos problemas através de uma equação diferencial.
3) Aprendizagem de técnicas fundamentais de resolução de certas equações diferenciais de ordem superior à primeira (Método da variação das constantes, Método dos coeficientes indeterminados, Transformada de Laplace). Conhecimento de aplicações clássicas das equações diferenciais de segunda ordem.
4) Aprendizagem de noções fundamentais da Análise de Fourrier e das suas aplicações à resolução de equações com derivadas parciais.
Pré-requisitos
Domínio dos conteúdos das disciplinas de AM1C, AM2C e Álgebra Linear.
Conteúdo
1- Séries Numéricas
1.1 Convergência de séries numéricas. Condição necessária de convergência. Séries Telescópicas. Séries Geométricas.
1.2 Séries de termos não negativos. Séries de Dirichlet. Critérios de Comparação. Critério da razão. Critério de D''Alembert. Critério da Raiz. Critério de Cauchy.
1.3 Convergência Simples e Absoluta. Séries Alternadas e Critério de Leibniz.
2. Séries de Potências
2.1 Séries de Potências. Séries de Taylor de funções analíticas.
3. Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
3.1 Equações Diferenciais de Primeira Ordem: Campo de direcções associado a uma EDO de 1ª ordem. Alguns resultados de Existência e Unicidade de soluções: os Teoremas de Picard e Peano. Noção de solução implícita de uma equação diferencial. Equações autónomas e soluções de equilíbrio. Equações lineares, separáveis e de Bernoulli. Equações exactas e noção de factor integrante.
3.2 Equações Diferenciais de Segunda Ordem. Caso das equações homogéneas: polinómio caracterísitico e base do espaço vectorial da solução. Generalização ao caso das equações diferenciais lineares homogéneas de ordem n maior ou igual a 3. Determinante Wronskyano e noção de independência linear de uma família de soluções. Estrutura afim do conjunto de soluções de uma EDO linear de segunda ordem. Método de D''Alembert. Método da Variação das constantes. Método dos coeficientes indeterminados. Noção de ressonãncia.
3.3 Resolução de Equações diferenciais através do uso de séries de potências.
3.4 Sistemas de equações diferenciais lineares de coeficientes constantes: generalidade e estrutura das soluções. Base do espaço vectorial solução; relação entre o espectro do sistema linear associado e a estabilidade das soluções de equilíbrio.
4. Transfromada de Laplace.
4.1 Definição. Transformada de Laplace das funções usuais: Polinómios, exponencial e funções trigonométricas.
4.2 Efeito na transformada de Laplace da multiplicação por uma exponencial e por uma função linear. Transformada de Laplace da derivada de uma função e da função trasladada.
4.3 Transformada de Laplace da função de Heaviside e da distribuição de Dirac.
4.4 Transformada de Laplace e Convolução. Transformada de Laplace inversa.
4.5 Aplicação à resolução de equações diferenciais lineares.
5. Equações com Derivadas Parciais (EDP)
5.1 Decomposição em série de Fourier de uma função periódica: generalidades sobre funções periódicas; modos sin (2πt/n ) e cos (2πt/n); série de Fourier associada a uma função suficientemente regular; condições suficientes de iguadade entre uma função e a respectiva série de Fourier; pontos de discontinuidade e fenómenso de Gibbs. Decomposição de uma função regular em série de senos/cosenos num dado intervalo.
5.2 Aplicações das Séries de Fourier às EDP. Generalidades sobre EDP: método de separação das variáveis. Aplicações ao caso parabólico (equação do calor), hiperbólico (equação das ondas) e elíptico (equação de Laplace).
Bibliografia
Campos Ferreira, J. - Introdução à Análise Matemática, Edições da Fund. C. Gulbenkian.
Braun, Martin - Differential Equations and their Applications, Springer-Verlag.
Edwards, Jr; Penney, David - Elemetary Differential Equations (with boundary valur Problems), Prentice Hall.
Figueiredo, Djairo - Análise de Fourier e Equações Diferenciais Parciais, IMPA projeto Euclides.
Método de ensino
Método de ensino baseado na leccionção de aulas teóricas e aulas práticas, apoiadas com horários de atendimento bisemanais.
Método de avaliação
Importante:
Para ter avaliação na disciplina o aluno tem que ter frequência à disciplina. A frequência obtem-se pela assistência a pelo menos 2/3 das aulas práticas.
Modos de avaliação:
1-Avaliação contínua.
Avaliação por 3 testes no decurso do semestre com possibilidade de melhoria de um dos testes na data de exame. A nota final é a média aritmética dos três testes. O aluno é aprovado se a nota final fôr superior ou igual a 9,5 valores.
Cada teste tem duração de 1 hora e 30 minutos.
2- Avaliação por exame final.
O aluno é aprovado se tiver nota de exame superior ou igual a 9,5 valores.
O exame final tem uma duração de 3h.