Medida, Integração e Probabilidades
Código
7816
Unidade Orgânica
Faculdade de Ciências e Tecnologia
Departamento
Departamento de Matemática
Créditos
6.0
Professor responsável
Maria Fernanda de Almeida Cipriano Salvador Marques
Horas semanais
5
Língua de ensino
Português
Conteúdo
1- Medida
Medida exterior. Conjuntos mensuráveis à Lebesgue e medida de Lebesgue. Conjuntos de Borel. Sigma-álgebras.
Probabilidade: Espaço de probabilidade. Acontecimentos, condicionamento e independência.
2- Funções mensuráveis
Funções mensuráveis à Lebesgue.
Probabilidade: Variáveis aleatórias. Sigma-álgebras geradas por variáveis aleatórias. Distribuição de probabilidade. Independência de variáveis aleatórias.
3- Integral
Definição de integral. Teorema da convergência monótona. Funções integráveis. Teorema da convergência dominada.
Probabilidade: Integração em relação a distribuições de probabilidade. Medidas absolutamente contínuas. Esperança de uma variável aleatória. Função característica.
4- Espaço das funções integráveis
Espaço L^1. Espaço L^2. Espaços com produto interno. Ortogonalidade e projeção. Espaço L^p. Espaços completos.
Probabilidade: Momentos. Independência. Esperança condicional como projecção ortogonal.
5- Medidas produto
Medida de Lebesgue multidimensional. Sigma-álgebras produto. Construção da medida produto. Teorema de Fubini.
Probabilidade: Distribuição conjunta. Independência. Probabilidade condicionada.
6- Teorema de Radon-Nykodim
Densidades e condicionamento. Medida de Lebesgue Stieltjes. Funções de variação limitada. Medidas com sinal.
Probabilidade: Esperança condicional relativa a uma sigma-álgebra.
7- Teoremas limite
Convergência em probabilidade. Lei fraca dos grandes números. Lemas de Borel-Cantelli. Lei forte dos grandes números. Convergência fraca. Teorema do limite central.
Bibliografia
- Marek Capinski, Ekkehard Kopp. Measure, Integration and Probability. Springer- Verlag
- Paul Malliavin: Integration and Probability. Springer-Verlag. 1995
Método de avaliação
1 - Frequência
É atribuída frequência aos alunos que comparecerem a pelo menos dois terços das aulas lecionadas ou estejam dispensados. Os alunos com estatuto especial estão dispensados de frequência.
2 - Avaliação de conhecimentos.
Só os alunos que tenham frequência ou estejam dispensados de frequência é que podem obter aprovação na disciplina.
A avaliação de conhecimentos é realizada através de Avaliação Contínua ou Exame de Recurso.
2.1 Avaliação continua
A avaliação contínua é realizada através de
dois testes intercalares, cada teste tem classificação de 20 valores,
e avaliação realizada durante as aulas (através da resolução de exercícios no quadro e minitestes) cuja classificação varia entre 0 e 20 valores.
2.1 -- Testes
A classificação da Avaliação Contínua obtém-se fazendo a média aritmética das classificações obtidas nos 2 testes e a classificação obtida durante as aulas.
Se a classificação da Avaliação Contínua for inferior, ou igual, a 9,4 o aluno poderá apresentar-se a Exame Final.
2.2 - Exame de Recurso
Podem apresentar-se a Exame Final todos os alunos inscritos na disciplina que tenham obtido frequência ou estejam dispensados de frequência.
Se a classificação do exame for superior, ou igual, a 9,5 o aluno fica aprovado com essa classificação arredondada às unidades.
Se a classificação obtida no exame for inferior, ou igual, a 9,4 o aluno reprova.