Introdução à Teoria dos Números
Código
10838
Unidade Orgânica
Faculdade de Ciências e Tecnologia
Departamento
Departamento de Matemática
Créditos
6.0
Professor responsável
Manuel Almeida Silva
Horas semanais
5
Total de horas
70
Língua de ensino
Português
Objectivos
Introduzir os conceitos e resultados básicos de Teoria dos Números.
Pré-requisitos
Não tem.
Conteúdo
• Divisibilidade.
• Números primos.
• Máximo divisor comum. Algoritmo de Euclides.
• Teorema fundamental da aritmética.
• Métodos elementares de factorização. Factorização de Fermat.
• Equações diofantinas. Ternos pitagóricos.
• Congruências e aritmética modular.
• Equações módulo m .
• O teorema do resto chinês.
• Teorema de Wilson e Teorema de Fermat. Aplicações em critérios de divisibilidade.
• Teorema de Euler. Função Phi de Euler.
• Números perfeitos.
• Resíduos quadráticos. Elementos primitivos. Reciprocidade quadrática
• Fracções contínuas.
• Funções aritméticas
• Problemas em aberto.
Bibliografia
A. Gareth Jones, J. Jones, Elementary Number Theory
William Stein, Elementary Number Theory: Primes, Congruences, and Secrets (2011)
José Plínio de Oliveira Santos, Introdução à Teoria dos Números, IMPA 2009
H. Davenport, The Higher arithmetic, Cambridge, 2008
G.H.Hardy, E.M.Wright, Theory of numbers
Vinogradov, I. M., Elements of Number Theory, NY Dover, 2003
Método de ensino
Nas aulas teóricas é leccionada a matéria definida no programa, que é ilustrada com exemplos. São disponibilizadas folhas de exercícios. Estes destinam-se a serem resolvidos pelos alunos quer nas aulas práticas quer como trabalho fora de aula.
Método de avaliação
Regras de Avaliação
1. Frequência
Para obter frequência à disciplina é necessário que o aluno
a) tenha assistido a, pelo menos, 2/3 das aulas teóricas leccionadas e 2/3 das aulas práticas leccionadas.
b) entregue por escrito semanalmente (no início da aula prática de sexta-feira) a resolução de 2 exercícios da ficha correspondente.
2. Avaliação contínua
Realizam-se três testes durante o semestre.
a) Podem apresentar-se a qualquer dos testes todos os alunos inscritos na disciplina que, no momento da sua realização, estejam em condições de obter frequência ou dela estejam dispensados.
b) Para obter a classificação dos testes (CT) é necessário que o aluno tenha obtido classificação não inferior a 7,5 no terceiro teste.
c) A classificação dos testes obtém-se fazendo a média aritmética das classificações, não arredondadas, obtidas nos três testes, desde que a do terceiro seja superior, ou igual, a 7,5. Se a CT (arredondada às unidades) for inferior 10 o aluno pode apresentar-se a exame. Se CT (arredondada às unidades) for superior, ou igual, a 10 e inferior a 17, o aluno fica aprovado com essa classificação. Se CT (arredondada às unidades) for superior, ou igual, a 17 o aluno poderá optar entre ficar com a classificação final de 16 ou realizar uma prova complementar para defesa de nota.
4. Exame
a) Todo o aluno ainda não aprovado na disciplina e que tenha obtido frequência ou dela esteja dispensado pode apresentar-se a exame.
b) Se a classificação, arredondada às unidades, for inferior a 10, o aluno reprova. Se a classificação, arredondada às unidades, for superior, ou igual, a 10 e inferior a 17, o aluno fica aprovado com essa classificação. Se a classificação, arredondada às unidades, for superior, ou igual, a 17, o aluno poderá optar entre ficar com a classificação final de 16 ou realizar uma prova complementar para defesa de nota.