Equações com Derivadas Parciais
Código
11590
Unidade Orgânica
Faculdade de Ciências e Tecnologia
Departamento
Departamento de Matemática
Créditos
6.0
Professor responsável
Magda Stela de Jesus Rebelo
Horas semanais
4
Língua de ensino
Português
Objectivos
Os estudantes devem ficar familiarizados com os métodos utilizados na abordagem das equações com derivadas parciais lineares e com as suas mais importantes aplicações.
Pré-requisitos
Conhecimentos de Análise Funcional e Teoria da Medida.
Conteúdo
1. As equações com derivadas parciais, lineares, clássicas
1.1. A equação de Laplace
1.1.1.Solução fundamental: a equação de Poisson; fórmulas do valor médio.
1.1.2.Propriedades das funções harmónicas: princípio do máximo forte; unicidade; regularidade; estimativas locais; teorema de Liouville; analiticidade; desigualdades de Harnack’s.
1.1.3.A função de Green: casos de um semi-espaço e de uma bola.
1.1.4.Métodos de energia: o princípio de Dirichlet.
1.2. A equação do calor
1.2.1.Solução fundamental: problema de valor inicial; problema não homogéneo; formula do valor médio.
1.2.2.Propriedades das soluções: princípio do máximo forte; unicidade; regularidade; estimativas locais.
1.2.3.Métodos de energia.
1.3. A equação das ondas
1.3.1.Resolução usando medias esféricas: a fórmula de Alembert; as fórmulas de Kirchhoff e Poisson.
1.3.2.O problema não homogéneo.
1.3.3.Métodos de energia.
2. Espaços de Sobolev
2.1. Espaços de Sobolev : derivadas distribucionais; Propriedades elementares.
2.2. Aproximação por funções regulares
2.3. Teorema de prolongamento
2.4. Teorema de traço
2.5. Desigualdades de Sobolev
2.6. Compacidade
2.7. Desigualdade de Poincaré
2.8. A transformada de Fourier
3. Equações elípticas de segunda ordem
3.1. Definições
3.2. Existência de soluções fracas: o teorema de Lax-Milgram ; estimativas de energia; a alternativa de Fredholm.
3.3. Regularidade
3.4. Princípios do máximo. A desigualde de Harnack.Maximum principles
3.5. Valores póprios e funções próprias.
4. Problemas de evolução lineares
4.1. Equações parabólicas de segunda ordem
4.1.1.Definições
4.1.2.Existência de soluções fracas of weak solutions
4.1.3.Regularidade
4.1.4.Princípios do máximo
4.2. Equações hiperbólicas de segunda ordem
4.2.1.Definições
4.2.2.Existência de soluções fracasof weak solutions
4.2.3.Regularidade
4.2.4.Propagação das perturbações
4.2.5.Teoria de semigrupos
Bibliografia
- L.C. Evans, Partial Differential Equations. American Mathematical Society.
- H. Brezis, Analyse Fonctionnelle: théorie et applications. Masson.
- D. Gilbarg & N. Trudinger, Elliptic Partial Differential Equations of Second Order. Springer.
- J.-L. Lions & E. Magenes, Nonhomogeneous boundary value problems and Applications, vol.I , vol. lI III. Springer