Tópicos de Matemática Discreta
Código
8503
Unidade Orgânica
Faculdade de Ciências e Tecnologia
Departamento
Departamento de Matemática
Créditos
3.0
Professor responsável
Ana Cristina Malheiro Casimiro
Horas semanais
3
Língua de ensino
Português
Conteúdo
1. Divisibilidade no Anel dos Inteiros
Divisão Euclidiana, Algoritmo de Euclides, Teorema de Bezout e Lema de Euclides, números primos e Teorema fundamental da Aritmética.
2. Congruências
Definição e propriedades. Representação em base n. Anel de inteiros módulo n. Teorema de Wilson. Teorema de Wolstenholme
3. Revisões de estruturas algébricas
Grupos, aneis, corpos.
4. Função de Euler e o Teorema de Euler-Fermat
Sistemas de resíduos (invertíveis) módulo n. Teorema de Euler-Fermat. Pequeno Teorema de Fermat.
5. Congruências lineares e Teorema dos restos chines
6. Criptografia RSA
7. Funções Aritméticas
Funções (totalmente) multiplicativas. Produto de convolução (de Dirichlet).
8. Equações Diofantinas
Triplos Pitagóricos. Somas de 4 quadrados e o Problema de Waring.
Bibliografia
- Teoria dos Números um passeio com primos e outros números familiares pelo mundo inteiro, Fabio Martinez, Carlos Gustavo Moreira, Nicolau Saldanha e Eduardo Tengan, IMPA, 2015, ISBN: 978-85-244-0416-0, 4ª edição
-Introdução à Teoria de Números, Filipe Oliveira, FCT - Universidade Nova de Lisboa
- A Classical Introduction to Modern Number Theory, Kenneth Ireland, Michael Rosen, Springer New York, 1990, ISBN: 978-1-4419-3094-1
– An introduction to the theory of numbers,HARDY, G. H., WRIGHT, E. M. 3ª ed., Oxford, at the Clarendon Press, 1954.
Método de ensino
As aulas teórico-práticas consistem na exposição dos conteúdos da disciplina, ilustrada com exemplos de aplicação.Durante estas aulas, os alunos serão chamados a resolver exercícios e a elaborar demonstrações de alguns dos resultados apresentados.
Método de avaliação
A avaliação de conhecimentos é realizada através de Avaliação Contínua ou Exame de Recurso.
Avaliação Contínua
(A) O aluno terá que desenvolver um tópico do programa da disciplina e terá que apresentá-lo oralmente (1h) e por escrito.
(B) No fim de semestre haverá um teste, com consulta, de 2 horas sobre a matéria apresentada durante as aulas.
A nota da avaliação contínua será a média aritmética das notas obtidas em (A) e (B), que terão uma classificação de 0 a 20 valores. O aluno obtém aprovação se esta média for igual ou superior a 9,5 valores.
Exame de Recurso
Podem-se apresentar a exame de recurso (3h) os alunos inscritos que tenham reprovado na época normal.
Melhoria de nota
Os alunos têm direito de efetuar melhoria de nota, mediante inscrição nos prazos fixados, na época de recurso. Nesse caso, poderão efetuar o Exame de 3 horas.
Considerações finais
Em tudo o que presente Regulamento seja omisso valem os Regulamentos Gerais da FCT-UNL.