Análise Matemática III D
Código
7544
Unidade Orgânica
Faculdade de Ciências e Tecnologia
Departamento
Departamento de Matemática
Créditos
6.0
Professor responsável
João de Deus Mota Silva Marques
Horas semanais
6
Total de horas
40
Língua de ensino
Português
Objectivos
- Domínio dos aspectos básicos da teoria das funções de variável complexa.
- Estudo das equações diferenciais ordinárias. Pretende-se que o aluno se familiarize com as várias técnicas de resolução de equações diferenciais lineares e não lineares, sendo dedicada especial atenção às equações diferenciais lineares de ordem superior à primeira.
- Os alunos devem saber utilizar as transformadas de Laplace para resolver equações diferenciais e integrais.
- O aluno deve aprender o essencial sobre séries de Fourier e a sua aplicação à resolução de equações diferenciais com derivadas parciais.
Pré-requisitos
Conhecimentos de Análise ao nível das disciplinas de Análise Matemática I e Análise Matemática II.
Conteúdo
1. Geometria do Plano Complexo
1.1 Introdução: Generalidades sobre o corpo dos números complexos; conjugado,módulo e argumento; forma polar de um número complexo. raizes enésimas de números complexos. Fórmulas de De Moivre e aplicações à linearização de polinómios trigonométricos.
1.2 Isometrias e Homotetias: Classificação das isometrias do plano (translações, rotações, reflexões e reflexões deslizantes) e estudo das respetivas representações por funções de variável complexa. Homotetias e transformações do plano complexo da forma f(z)=wz+z0 e f(z)=wz+z0; inversões da forma f(z)=1/z.
1.3 Funções elementares: Funções polinomiais de variável complexa. Função exponencial, funções trigonométricas circulares e hiperbólicas, ramo principal do logaritmo e funções trigonométricas inversas.
1.4 Transformações conformes: Funções holomorfas, condições de Cauchy-Riemann e sua interpretação geométrica. A noção de transformação conforme. Transformação de regiões elementares (delimitadas por segmentos de reta e/ou por curvas cónicas) por transformações conformes elementares (z2, z3, ez, sin z, sinh z, 1/z, etc).
2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS (EDO)
2.1 Equações diferenciais de primeira ordem: Campo de direções associado a uma EDO de primeira ordem; curvas integrais e soluções. Alguns resultados de existência e de unicidade de soluções: os teoremas de Picard e de Peano. Noção de solução implícita de uma equação diferencial. Equações autónomas e soluções de equilíbrio. Equações lineares, equações de variáveis separáveis e equações de Bernoulli. Equações diferenciais exatas e noção de fator integrante.
2.2 Equações diferenciais de segunda ordem. Equações homogéneas: polinómio característico e base do espaço vetorial solução. Generalização a equações diferenciais lineares homogéneas de ordem superior ou igual a três. O Wronskiano e independência linear de soluções. Estrutura afim do conjunto de soluções de uma EDO linear de segunda ordem. O método de d'''' Alembert. Método da variação das constantes. Método dos coeficientes indeterminados. Noção de ressonância.
2.3 Sistemas de equações diferenciais lineares de coeficientes constantes: Generalidades e estrutura das soluções. Base do espaço vetorial solução; relação entre o espectro do sistema linear associado e a estabilidade das soluções.
3. Equações com derivadas parciais (EDP)
3. 1 Representação em séries de Fourier de funções periódicas. Generalidades sobre funções periódicas . Modos sin(2πt/n) e cos(2πt/n); série de Fourier associada a uma função periódica suficientemente regular (formalismo real e complexo);Estudo da convergência de uma série de Fourier; pontos de descontinuidade e fenómeno de Gibbs. Representação dee uma função regular em séries de senos/cossenos num dado intervalo.
3.2 Aplicações das séries de Fourier às EDP: Generalidades sobre EDP. O método de separação de variáveis. Aplicações ao caso parabólico (equação do calor), hiperbólico (equação das ondas) e elíptico (equação de Laplace).
3.3 A equação de Navier-Stokes. Noção de lei de conservação; noção de derivada material. A equação de Euler para líquidos incompressíveis; conservação da massa, do momento e da energia. Caso da equação de Navier-Stokes: estudo de soluções exactas em diferentes contextos unidimensionais.
Bibliografia
J. Marsden and M.Hoffman, Basic Complex Analysis (Freeman, 1999).
R. Churchill, J. Brown and R. Verhey, Complex Variables and Applications (McGraw-Hill, 1976).
D. Zill and P. Shanahan, Complex Analysis with applications (Jones and Bartlett Publishers, 2003).
Apostol, T.M. - Calculus - Volume I e Volume II - Blaidsell Publishing Company.
Braun, Martin - Differential Equations and their Applications, Springer-Verlag
Freitas, A.C. - Análise Infinitesimal - Volume 1 e Volume 2 - Notas de Lições para alunos do 2º ano das Licenciaturas da FCT.
Howard, Anton - Calculus: A New Horizon -John Wiley and Sons.
Kreysig - Advanced Engineering Mathematics
Taylor, A.E.;-- Man, W.R. - Advanced Calculus - John Wiley and Sons.
Zill, D. G. ; Cullen, M.R. - Differential equations with boundary value problems; 6th edition.
Método de avaliação
Método de Avaliação – Análise Matemática III-D
Em conformidade com o Regulamento de Avaliação de Conhecimentos da Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade Nova de Lisboa, revisto a 30 de Julho de 2013, a disciplina de Análise Matemática III-D tem o seguinte método de avaliação:
Frequência
De acordo com o ponto seis do artigo sexto do RAC será atribuída frequência aos alunos que tenham assistido a pelo menos dois terços do número total de aulas por tipologia. Estão dispensados de Frequência os alunos que possuam um estatuto que dela os isente.
Avaliação contínua
A avaliação contínua da disciplina é efetuada através da realização de três testes escritos (avaliação teórico e prática) durante o semestre, cada um com duração não inferior a uma hora e meia. A cada teste escrito será atribuída uma classificação (t1,t2 e t3) na escala de 0 a 20 arredondada às décimas.
O terceiro teste requer uma nota mínima de 7.5 ( t3≥ 7.5).
A classificação final da Avaliação Contínua "AC" é calculada arredondando
(t1+t2+t3)/3
às unidades, pelas convenções usuais.
O aluno é aprovado por avaliação contínua se tiver obtido frequência de acordo com as regras acima explicitadas se t3 ≥ 7.5 e se AC ≥10
Exame
Os alunos reprovados por avaliação contínua a quem tenha sido atribuída frequência, ou dela tenham sido dispensados, poderão apresentar-se a exame.
O exame consiste numa prova escrita de duração nunca inferior a 3 horas que sobre a totalidade dos conteúdos da disciplina.
Ao exame será atribuída uma classificação inteira entre 0 e 20 valores, estando o aluno aprovado à disciplina, com essa classificação, se esta for superior ou igual a 10 valores.
É interdita a utilização de máquinas de calcular ou quaisquer outros instrumentos de suporte de cálculo em todos os momentos de avaliação.
Defesa de Nota
Os alunos com uma classificação final superior ou igual a 18 valores deverão realizar uma prova de defesa de nota. A não realização desta prova conduz a uma classificação final de 17 valores na disciplina. A nota final de um aluno que realize a prova de defesa de nota nunca será inferior a 17 valores.
Melhoria de Classificação
Os alunos aprovados por avaliação contínua poderão requerer, mediante o cumprimento de todas as disposições impostas pela FCT-UNL, melhoria de classificação. Nesse caso, poderão efetuar o exame. A classificação final será o máximo entre as classificações obtidas em avaliação contínua e em exame.
Condições para a realização das provas escritas (testes e exame)
Poderão apresentar-se a cada um dos testes da Avaliação Contínua e ao Exame os alunos regularmente inscritos no Clip. A inscrição deverá ser feita até pelo menos uma semana antes da realização da prova (teste ou exame). No dia da prova cada aluno deverá possuir um caderno de exame em branco que será entregue no início da prova ao docente que estiver a efectuar a vigilância. Durante a prova o aluno deverá ser portador de documento de identificação oficial com fotografia recente.
Em tudo o que presente Regulamento seja omisso valem os Regulamentos Gerais da FCT-UNL.