Análise Matemática IV B
Código
5006
Unidade Orgânica
Faculdade de Ciências e Tecnologia
Departamento
Departamento de Matemática
Créditos
6.0
Professor responsável
Fábio Augusto da Costa Carvalho Chalub
Horas semanais
5
Total de horas
70
Língua de ensino
Português
Objectivos
No capítulo sobre equações diferenciais ordinárias pretende-se que o aluno se familiarize com as técnicas de resolução de equações diferenciais de primeira ordem lineares e não lineares e é dedicada especial atenção às equações diferenciais lineares de ordem superior à primeira.
No capítulo dedicado às Transformadas de Laplace pretende-se que os alunos utilizem os conhecimentos adquiridos neste assunto de forma a poder aplicá-los na resolução de alguns tipos de equações diferenciais e integrais.
Pretende-se que o aluno se familiarize com as técnicas de resolução de alguns tipos de equações às derivadas parciais.
Pré-requisitos
Análise Matemática I, II e III; Álgebra Linear
Conteúdo
1. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS (EDO)
1.1- Equações diferenciais de primeira ordem: campo de direcções associado a uma EDO de 1ª ordem; curvas integrais do campo e soluções. Alguns resultados de existência e unicidade de soluções: os teoremas de Picard e de Peano. Noção de solução implícita de uma equação diferencial. Equações autónomas e soluções de equilíbrio. Equações lineares, separáveis e de Bernoulli. Equações exactas e noção de factor integrante.
1.2- Equações diferenciais de segunda ordem. Caso das equações homogéneas: polinómio característico e base do espaço vectorial solução. Generalização ao caso de equações diferenciais lineares homogéneas de ordem n>=3. Determinante Wronskiano e noção de independência linear de uma família de funções; estrutura afim do conjunto de soluções de uma EDO linear de 2ª ordem. Método de d''''Alembert. Método de variação das constantes. Método dos coeficientes indeterminados. Noção de ressonância.
1.3- Resolução de equações diferenciais ordinárias através do uso de séries de potências. Resolução de equações diferenciais ordinárias através do uso de funções de Bessel, de Lagrange e de Hermite.
1.4- Sistemas de equações diferenciais lineares de coeficientes constantes: generalidades e estrutura das soluções. Base do espaço vectorial solução; relação entre o espectro do sistema linear associado e a estabilidade das soluções de equilíbrio.
2. TRANSFORMADA DE LAPLACE
2.1- Definição. Transformada de Laplace das funções usuais: polinómios, exponencial e funções trigonométricas.
2.2- Efeito na transformada de Laplace da multiplicação por uma exponencial e por uma função linear. Transformada de Laplace da derivada de uma função e da função trasladada.
2.3- Transformada de Laplace da função de Heaviside e da distribuição de Dirac.
2.4- Transformada de Laplace e convolução. Transformada de Laplace inversa.
2.5- Aplicações à resolução de equações diferenciais lineares.
3. EQUAÇÕES COM DERIVADAS PARCIAIS (EDP)
3.1- Decomposição em série de Fourier de uma função periódica: generalidades sobre funções periódicas; modos sin(2 Pi t/n) e cos(2 Pi t/n); a série de Fourier associada a uma função periódica suficientemente regular; condições suficientes de igualdade entre uma função e a respectiva série de Fourier; pontos de descontinuidade e fenómeno de Gibbs. Decomposição de uma função regular em série de senos/co-senos num dado intervalo.
3.2- Aplicações das séries de Fourier às EDP: generalidades sobre EDP; método de separação de variáveis. Aplicações ao caso parabólico (equação do calor), hiperbólico (equação das ondas) e elíptico (equação de Laplace).
4. TRANSFORMADA DE FOURIER
4.1- Definição. Propriedades elementares da transformada de Fourier. Transformada de Fourier inversa. Aplicações à resolução de equações diferenciais lineares.
5. INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DAS VARIAÇÕES
5.1- Introdução. Definição de funcional e de Lagrangiano. Lema fundamental do cálculo das variações e equações de Euler-Lagrange.
5.2- Exemplos clássicos do cálculo das variações: curvas geodésicas, lei de Snell-Descartes, curva catenária, problema braquistócrono, problema isócrono. Aplicações.
6. INTRODUÇÃO À TRANSFORMADA DE RADON
6.1- Definição de transformada de Radon. Aplicações.
Bibliografia
Textos básicos.
Material na internet: Vilatte, Jaime, Equações diferenciais e equações de diferenças, FEUP http://villate.org/doc/eqdiferenciais/eqdif_20110426.pdf
Apostol, T.M., Calculus, Volume I and Volume II, Blaidsell Publishing Company.
Howard, Anton, Calculus: A New Horizon, John Wiley and Sons.
Taylor, A.E., Man, W.R., Advanced Calculus, John Wiley and Sons.
Stewart, J. Cálculo, Thomson Learning.
Ferreira, M. A. e Amaral, I, Matemática, Integrais míltiplos, equações diferenciais, Edições Síabo
Algumas referências extra:
Pontos 7, 8 e 10. Butkov, E. Mathematical Physics.
Ponto 9. The Mathematics of Medical Imaging: A Beginner''s Guide, Timothy G. Feeman, Springer
Método de ensino
Aulas teóricas (3 horas por semana) e aulas práticas (2 horas por semana). Exercícios para casa e exercícios a ser resolvidos em aulas práticas.
Método de avaliação
A componente contínua da avaliação consiste de três testes. Caso a classificação do terceiro testes seja igual ou superior a 7.0 (sete), então a média final é obtida pela soma das classificações dos três testes dividido por três, arrendodada para o inteiro mais próximo (n.5 é arrendodado para n+1).
Quem obtiver média igual ou superior a 9.5 mas não conseguir satisfazer ocritério de nota mínima do terceiro teste, terá avaliação contínua igual a 9.
Para quem não for aprovado na avaliação contínua, é possível fazer um exame de recurso.
Frequência:
- Será concedida Frequência a qualquer aluno que não falte, injustificadamente, a mais do que um terço das aulas práticas leccionadas, correspondentes ao turno em que se encontra inscrito.
- Os alunos que queiram justificar as suas faltas devem entregar ao docente do turno a que pertencem o respetivo comprovativo de justificação no prazo de 5 dias úteis, a contar da data em que ocorreram essas mesmas faltas.
- Estão dispensados da obtenção de Frequência todos os alunos que possuam um estatuto especial que contemple a referida dispensa (trabalhador estudante ou qualquer outro reconhecido pelas regras gerais de avaliação da FCT-UNL).