Medida, Integração e Probabilidades
Código
7816
Unidade Orgânica
Faculdade de Ciências e Tecnologia
Departamento
Departamento de Matemática
Créditos
6.0
Professor responsável
Ana Margarida Fernandes Ribeiro
Horas semanais
5
Total de horas
82
Língua de ensino
Português
Conteúdo
1- Medida
Medida exterior. Conjuntos mensuráveis à Lebesgue e medida de Lebesgue. Conjuntos de Borel. Sigma-álgebras.
Probabilidade: Espaço de probabilidade. Acontecimentos, condicionamento e independência.
2- Funções mensuráveis
Funções mensuráveis à Lebesgue.
Probabilidade: Variáveis aleatórias. Sigma-álgebras geradas por variáveis aleatórias. Distribuição de probabilidade. Independência de variáveis aleatórias.
3- Integral
Definição de integral. Teorema da convergência monótona. Funções integráveis. Teorema da convergência dominada.
Probabilidade: Integração em relação a distribuições de probabilidade. Medidas absolutamente contínuas. Esperança de uma variável aleatória. Função característica.
4- Espaço das funções integráveis
Espaço L^1. Espaço L^2. Espaços com produto interno. Ortogonalidade e projeção. Espaço L^p. Espaços completos.
Probabilidade: Momentos. Independência. Esperança condicional como projecção ortogonal.
5- Medidas produto
Medida de Lebesgue multidimensional. Sigma-álgebras produto. Construção da medida produto. Teorema de Fubini.
Probabilidade: Distribuição conjunta. Independência. Probabilidade condicionada.
6- Teorema de Radon-Nykodim
Densidades e condicionamento. Medida de Lebesgue Stieltjes. Funções de variação limitada. Medidas com sinal.
Probabilidade: Esperança condicional relativa a uma sigma-álgebra.
7- Teoremas limite
Convergência em probabilidade. Lei fraca dos grandes números. Lemas de Borel-Cantelli. Lei forte dos grandes números. Convergência fraca. Teorema do limite central.
Bibliografia
M. Capinski, E. Kopp, Measure, Integration and Probability. Springer- Verlag
G. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and their Applications, John Wiley & Sons, Second Edition, 1999
J. Lamperti, Probability: A survey of the Mathematical Theory, John Wiley & Sons, Second Edition, 1996
Método de avaliação
1. Avaliação contínua
A classificação na avaliação contínua é uma nota entre 0 e 20 valores e resulta da classificação obtida nos três elementos de avaliação seguintes:
- 1º teste, realizado no decorrer do semestre, com classificação entre 0 e 7 valores (correspondendo a 35% da nota final);
- 2º teste, realizado no final do semestre, com classificação entre 0 e 9 valores (correspondendo a 45% da nota final);
- avaliação oral e escrita realizada durante as aulas téoricas e as aulas práticas constituída por chamadas orais e mini-testes. Este elemento de avaliação tem classificação entre 0 e 4 valores, correspondendo a 20% da nota final.
A classificação na avaliação contínua é obtida por arredondamento às unidades da soma das classificações obtidas nos três elementos de avaliação.
Requisitos para a realização dos testes: para realizar qualquer dos testes previstos, os alunos têm de se inscrever no Clip até uma semana antes da data da prova. Além disso, no ato da prova, os alunos devem ser portadores de um caderno de exame (em branco) e de um documento de identificação.
Um aluno que beneficie do regime especial de trabalhador-estudante ou outro, que o impossibilite de frequentar as aulas, poderá ser avaliado segundo o regime de avaliação contínua, realizando os dois testes previstos (de acordo com os pesos acima indicados) e complementando a sua avaliação com uma prova oral realizada na semana prevista pelo calendário escolar para avaliação contínua e com o peso de 20%.
2. Exame
O exame tem a duração de 3 horas. Todo o aluno ainda não aprovado na disciplina pode apresentar-se a exame, sendo a nota final obtida por arredondamento às unidades da classificação obtida no exame.
Requisitos para realização do exame: para realizar o exame, os alunos têm de se inscrever no Clip até uma semana antes da data da prova. Além disso, no ato da prova, os alunos devem ser portadores de um caderno de exame (em branco) e de um documento de identificação.
3. Exame de melhoria de nota
Todo o aluno que pretenda obter melhoria de nota deve cumprir, para esse efeito, as formalidades legais de inscrição. Além disso, o aluno deve apresentar-se a exame, seguindo os requisitos indicados no ponto 2 acima. Se o resultado no exame for superior ao já obtido anteriormente na disciplina, será tomado como nota final. Caso contrário, não se verifica melhoria de nota.