Álgebra Universal e Reticulados
Código
8529
Unidade Orgânica
Faculdade de Ciências e Tecnologia
Departamento
Departamento de Matemática
Créditos
6.0
Professor responsável
Júlia Maria Nunes Loureiro Vaz de Carvalho
Horas semanais
2
Língua de ensino
Português
Objectivos
Pretende-se que o estudante adquira conhecimentos básicos de Álgebra Universal e Teoria de Reticulados, o que permitirá estudos futuros mais aprofundados na área e o estudo das aplicações à ciência da computação teórica. Pretende-se, ainda, que o estudante encare estruturas estudadas ao nível do 1º ciclo como exemplos de álgebras no sentido agora estabelecido e reconheça que muitos resultados provados anteriormente para cada uma delas são corolários de resultados estabelecidos neste contexto. O estudante deve também reconhecer a interligação entre a Álgebra Universal e a Teoria de Reticulados.
Pré-requisitos
Conhecimentos básicos sobre algumas estruturas algébricas, nomeadamente, grupos e anéis.
Conteúdo
1. Conjuntos parcialmente ordenados. Reticulados. Reticulados completos. Reticulados algébricos. Reticulados modulares. Reticulados distributivos. Reticulados de Boole e álgebras de Boole.
2. Álgebras. Homomorfismos. Subuniversos e subálgebras. Congruências. Produtos directos.
3. Teorema do Homomorfismo e teoremas do isomorfismo. Congruências factor e álgebras directamente indecomponíveis. Produtos subdirectos. Álgebras subdirectamente irredutíveis e álgebras simples.
4. Operadores de classe e variedades. Teorema de Tarski.
5. Álgebras livres. Termos and álgebras-termo. Identidades. Teorema de Birkhoff.
Bibliografia
1 – Burris, S. & Sankappanavar, H. P. – A Course in Universal Algebra – Springer Verlag, New York, 1981.
2 – Davey, B. A. & Priestley, H. A. – Introduction to Lattices and Order, Cambridge Mathematical Textbooks, 1990.
3 – Denecke, K. & Wismath, S. L. – Universal Algebra and Applications in Theoretical Computer Science, Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, Florida, 2002.
4 – Gratzer, G. – Lattice Theory: Foundation, Birkhauser Verlag, Basel, 2011.
5 – McKenzie, R. N. & McNulty, G. F. & Taylor, W. F. – Algebras, Lattices, Varieties Vol. I – Wadsworth & Brooks, California, 1987.
Método de avaliação
1. Avaliação Contínua
Realizam-se três testes durante o semestre.
a) Podem apresentar-se a qualquer dos testes todos os alunos inscritos na disciplina.
b) A classificação dos testes (CT) obtém-se fazendo a média aritmética das classificações, não arredondadas, obtidas nos três testes. Se a CT (arredondada às unidades) for inferior 10 o aluno pode apresentar-se a exame. Se CT (arredondada às unidades) for superior, ou igual, a 10, o aluno fica aprovado com essa classificação.
2. Exame
a) Todo o aluno ainda não aprovado e que esteja inscrito na disciplina pode apresentar-se a exame.
b) Se a classificação, arredondada às unidades, for inferior a 10, o aluno reprova. Se a classificação, arredondada às unidades, for superior, ou igual, a 10, o aluno fica aprovado com essa classificação.
3. Melhoria de nota
a) Todo o aluno que pretenda obter melhoria de nota deve cumprir, para esse efeito, as formalidades legais de inscrição.
b) Para obter melhoria de nota, é necessário que o aluno se apresente a exame.
c) A classificação é obtida de acordo com b) do ponto 2. Se este resultado for superior ao já obtido anteriormente na disciplina, será tomado como nota final. Caso contrário, não se verifica melhoria de nota.
4. Todas as provas são realizadas sem consulta.
5. Eventuais aspectos omissos serão decididos pela Responsável da disciplina.