Introdução ao Cálculo das Variações
Código
10988
Unidade Orgânica
Faculdade de Ciências e Tecnologia
Departamento
Departamento de Matemática
Créditos
6.0
Professor responsável
José Maria Nunes de Almeida Gonçalves Gomes
Horas semanais
5
Total de horas
70
Língua de ensino
Português
Objectivos
O aluno deverá conhecer os métodos clássicos do Cálculo das Variações, nomeadamente as noções de integral variacional, extremal, sistema de equações de Euler Lagrange para extremos livres e condicionados, geodésicas, Transformada de Legendre e formulação de Hamilton Jacobi.
O aluno deverá conhecer as bases dos métodos directos em Cálculo das Variações, nomeadamente noções de Análise Funcional relevantes: Teorema de Banach Steinhaus, convergência fraca em espaços de Banach, espaços de Hilbert, o espaço de Sobolev H1 e condições de semi-continuida fraca para integrais variacionais definidos em H1. Determinação de uma base ortogonal de L2 constituída por funções próprias do operador Laplaciano.
Pré-requisitos
O aluno deve ter adquirido conhecimentos sólidos de Análise em Rn ao nível do segundo ano de uma licenciatura em Matemática
Conteúdo
Introdução ao Cálculo das Variações
1. Métodos Indirectos
Exemplos e Problemas clássicos do Cálculo das Variações.
A primeira variação.
As equações de Euler-Lagrange.
Condições de fronteira naturais.
Problemas de minimização condicionada.
Problemas com condições de Neumann na fronteira.
A segunda variação (condição de Legendre).
Formulação Hamiltoniana e equação de Hamilton-Jacobi.
Aplicações.
2. Métodos Directos
Tópicos de Análise Funcional: Teorema de Ascoli, Lema de Baire, Teorema de Hahn Banach, Teorema de Banach Steinhaus, Noção de Convergência fraca, Topologia fraca e convexidade, Propriedades dos Espaços de Hilbert, Espaço de sobolev W1,p.
Problemas Variacionais em W1,2. Teorema de Tonelli. Condições para existência de mínimo para um funcional definido em W1,2. Existência de solução para problemas de segunda ordem com valores na fronteira entre sub e sobresolução bem ordenadas (abordagem variacional).
Aplicações.
Bibliografia
One-dimensional Variational Problems (An introduction). Butazzo G., Giaquinta M. and Hildebrandt S., Oxford Science Publications.
Analyse Fonctionelle, Brézis H., Masson.
Introduction to the Calculus of Variations, Bernaard Dacorogna, Imperial College Press (2nd edition)
Measure Theory and Fine properties of functions, Evans L. and Gariepy R., CRC press series in advanced Mathematics.
Outros textos:
Methods of Mathematical Physics, Volume 1, R. Courant nd D. Hilbert, Interscience publishers.
Método de ensino
O ensino consistirá numa combinação de aulas teórico práticas e sessões expositivas dos alunos de partes da matéria e de exercícios por si realizados.
Método de avaliação
A avaliação da disciplina de Introdução ao Cálculo das Variações consiste num regime misto de avaliação contínua (baseado na resolução e discussão de exercícios) e avaliação por teste (um único teste com a duração de duas horas).
A nota final da disciplina é determinada pela média aritmética da nota de avaliação contínua com a nota do teste.
O aluno é aprovado se a nota final for superior a 9,5 valores.