Tópicos de Topologia e Geometria de Variedades
Código
11645
Unidade Orgânica
Faculdade de Ciências e Tecnologia
Departamento
Departamento de Matemática
Créditos
6.0
Professor responsável
João Pedro Bizarro Cabral
Horas semanais
1
Total de horas
14
Língua de ensino
Português
Objectivos
Após finalizarem esta unidade curricular, os alunos devem ter obtido conhecimentos básicos de Topologia e de Geometria Diferencial, nomeadamente da noção de espaço tangente e cotangente a uma variedade, campo vectorial, forma diferencial, derivadas de Lie, derivadas exteriores, integração em variedades e teorema de Stokes, fibrados vectoriais, conexões e holonomia. Será enfatizado que os alunos saibam demonstrar os resultados principais, sabendo também fazer cálculos em exemplos concretos.
Conteúdo
3. Espaços tangente e cotangente. Campos vectoriais e tensoriais. Fluxo de um campo vectorial. Parêntesis de Lie. Formas diferenciais. Derivada de Lie. Derivada exterior. Teorema de Frobenius. Grupos de Lie.
4. Orientação. Integração de formas diferenciais. Teorema de Stokes.
5. Fibrados vectoriais. Conexões. Derivadas covariantes. Transporte paralelo. Geodésicas. Torção e curvatura. Variedades Riemaniannas. Conexão de Levi-Civita.
6. Cohomologia de d''Rham. Invariância por homotopia. Grau de uma aplicação. Relação entre grau e integral. Índice de um campo vectorial. Característica de Euler.
7. Fibrados principais. Conexões e holonomia.
Os capítulos 6 e 7, podem ser dados em alternativa ou em parte. Os restantes podem ser em parte omitidos, dependendo dos conhecimentos dos alunos.
Bibliografia
Andrew McInerne, First steps in Differential Geometry, Springer, 2013
Vladimir A. Zorich, Mathematical Analysis II, Springer, 2016
D. Barden, Ch. Thomas, An Introduction to Differential Manifolds, Imperial College Press, 2003.
B.A. Dubrovin, A.T. Fomenko, S.P. Novikov, Modern Geometry-Methods and Applications: Part II, the Geometry and Topology of Manifolds, Springer, 1985.
S. Lang, Fundamentals of differential geometry, Springer, 1999.
J.W. Milnor, Topology from the differentiable viewpoint. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1997.
M. Perdigão de Carmo, Geometria Riemanniana, IMPA, 1988.
F.W. Warner, Foundations of differentiable manifolds and Lie groups, Springer, 1983.
Método de ensino
Orientação tutorial do aluno, com indicações sobre matérias a estudar e apresentar, problemas a resolver e esclarecimento de dúvidas sobre a matéria e resolução de problemas.
Método de avaliação
Método de avaliação (Tutorial):
Avaliação Contínua:
Em cada sessão será designado uma lista de assuntos que o aluno deve estudar e efectuar uma exposição oral de uma hora. A exposição será atribuida uma nota, LTi, entre 0 e 20 valores. A nota final será a média aritmética das notas LTi.
Época de recurso :
Podem apresentar-se à época de recurso todos os alunos regularmente inscrito e que não tenham obtido aprovação na avaliação contínua. Esta é composta por um exame de três horas ou por apresentação oral de um tema previamente escolhido.
Os alunos que tenham obtido aprovação na cadeira podem efectuar melhoria de nota, mediante inscrição na divisão académica da FCT nos prazos fixados, na época de recurso.