Análise Complexa
Código
7813
Unidade Orgânica
Faculdade de Ciências e Tecnologia
Departamento
Departamento de Matemática
Créditos
6.0
Professor responsável
Luís Manuel Trabucho de Campos
Horas semanais
5
Total de horas
28
Língua de ensino
Português
Pré-requisitos
Bons conhecimentos de análise real (uma e mais variáveis), de geometria analítica no plano e da topologia usual de R2.
Conteúdo
1. Funções de variável complexa: Aritmética dos números complexos (revisão). Definição das funções elementares. Limites e continuidade. Diferenciabilidade – funções analíticas. Diferenciação das funções elementares. Funções harmónicas. Aplicações conformes.
2. Integração de funções de variável complexa – teorema de Cauchy: Integração de funções de variável complexa. Teorema de Cauchy. Fórmula integral de Cauchy. Teoremas fundamentais: teorema de Morera, desigualdades de Cauchy, teorema de Liouville, teorema fundamental da Álgebra, teorema do máximo do módulo.
3. Séries de potências; séries de Laurent: Convergência pontual e uniforme de sucessões e séries de funções. Séries de potências. Teorema de Taylor; analiticidade. Singularidades – séries de Laurent. Singularidades isoladas; classificação de singularidades isoladas.
4. Resíduos: Métodos de cálculo de resíduos. Teorema dos resíduos. Aplicação ao cálculo de integrais (reais e complexos).
5. Aplicação Conforme. Exemplos e Aplicações.
Bibliografia
L. V. Ahlfors, Complex Analysis, McGraw-Hill (1979)
M. A. Carreira e M. S. Nápoles, Variável complexa - teoria elementar e exercícios resolvidos, McGraw-Hill (1998)
S. Lang, Complex Analysis, Springer (1999), ISBN 0-387-98592-1
J. E. Marsden and M. J. Hoffman, Basic Complex Analysis - Third Edition, Freeman (1999), ISBN 0-7167-2877-X
Método de ensino
Nas aulas, a teoria é exposta e são apresentados exemplos de aplicação e ilustração. Os resultados apresentados são demonstrados. É dada oportunidade aos alunos de trabalhar na resolução de problemas constantes de uma lista previamente disponibilizada, com o apoio do professor caso o necessitem. Os resultados relevantes ilustrados pelos exercícios são objecto de comentário do professor.
Método de avaliação
1. A avaliação de conhecimentos será feita através de três testes (T1, T2, T3).
2. Os testes terão todos o mesmo peso. Cada teste será classificado de 0 a 20 valores, com aproximação às décimas.
3. Para serem aprovados, os alunos deverão obter classificação final igual ou superior a 10 valores. A classificação final (CF) é obtida arredondando às unidades o valor
V= (C1+C2+C3)/3,
onde C1, C2 e C3 representam as classificações dos testes T1, T2, T3, respectivamente.
Exemplo: se V=12.4 então CF=12; se V=12.5 então CF=13.
4. Haverá uma época de recurso e, quando se aplicar, uma época especial. A classificação final será um valor inteiro de 0 a 20. O aluno será aprovado se obtiver uma classificação final igual ou superior a 10 valores.