Elementos de Análise e Álgebra II
Código
8789
Unidade Orgânica
Faculdade de Ciências e Tecnologia
Departamento
Departamento de Matemática
Créditos
6.0
Professor responsável
Maria do Céu Cerqueira Soares
Horas semanais
6
Total de horas
67
Língua de ensino
Português
Objectivos
O estudante deve adquirir conhecimentos básicos sobre séries numéricas e séries de funções, cálculo diferencial e integral para funções de várias variáveis, resolução de equações diferenciais ordinárias e caracterização de grupos, isometrias e simetrias.
Pré-requisitos
O aluno deve possuir conhecimentos elementares de análise, nomeadamente cálculo diferencial e integral em R.
Conteúdo
1 Séries
1.1 Breves revisões sobre sucessões numéricas. Sucessões de funções.
1.2 Séries numéricas: definição e propriedades elementares. Critério de convergência para séries geométricas. Critério da raiz de Cauchy e critério de D''''Alembert. Aplicações.
1.3 Séries de potências: definição; noção de raio e de intervalo de convergência. Teoremas de integração e de derivação termo a termo.
1.4 Série de Taylor de uma função regular: condições para a igualdade entre a função e a respetiva série de Taylor.
2 Funções de várias variáveis
2.1 Definição e primeiras propriedades. Representação gráfica de funções de duas variáveis. Curvas de nível. Exemplos.
2.2 Limites de funções de várias variáveis: definição e propriedades elementares. Limites segundo curvas; limites direcionais. Noção de continuidade de uma função num ponto do respetivo domínio.
2.3 Derivadas parciais e diferenciabilidade: vetor gradiente e aplicações.
2.4 Integração de funções de duas variáveis. Teorema de Fubini, sistema de coordenadas polares.
3 Equações diferenciais ordinárias
3.1 Modelação matemática através de equações diferenciais: modelos exponenciais e logísticos. Exemplos de aplicações.
3.2 Equações diferenciais de primeira ordem: equações lineares; equações de variáveis separáveis; equações diferenciais exatas.
3.3 Equações diferenciais de segunda ordem: equações lineares homogéneas. Métodos de resolução de equações lineares não homogéneas: método de variação das constantes e dos coeficientes indeterminados.
4 Grupos
4.1 Definição e primeiros exemplos.
4.2 Grupo das isometrias de R^2. Grupos de isometrias que deixam invariantes um subconjunto de R^2. Grupos diedrais. Aplicação ao grupo de frisos.
Bibliografia
[1] Sá, A. & Louro, B. – Sucessões e Séries, Escolar Editora, 2009.
[2] Sarrico, C. - Análise Matemática, Gradiva, 1997.
[3] Sarrico, C. - Cálculo Diferencial e Integral para funções de várias variáveis, Esfera do Caos, 2009.
[4] Monteiro, A. & Matos, I. - Álgebra, Escolar Editora, 2001.
Método de ensino
Nesta disciplina há aulas teóricas (3 horas semanais) e aulas práticas (3 horas semanais).
Os alunos têm antecipadamente à sua disposição um guião com os apontamentos teóricos e práticos para as aulas.
Existe ainda um horário de atendimento docente onde cada aluno poderá, individualmente, esclarecer as suas dúvidas.
Método de avaliação
1 - FREQUÊNCIA À DISCIPLINA
Para obter classificação na disciplina, é necessário que o aluno obtenha frequência ou que dela esteja dispensado.
Para obter frequência:
- o aluno de primeira inscrição não pode exceder o limite de três faltas injustificadas às aulas teóricas E três faltas injustificadas às aulas práticas, ou possuir algum estatuto especial que preveja a dispensa de comparência a aulas (e.g., trabalhadores estudantes).
- o aluno de inscrição superior à primeira não pode exceder o limite de oito faltas injustificadas às aulas teóricas OU oito faltas injustificadas às aulas práticas, ou possuir algum estatuto especial que preveja a dispensa de comparência a aulas (e.g., trabalhadores estudantes).
2 – AVALIAÇÃO DE CONHECIMENTOS
A avaliação de conhecimentos é realizada através de três testes intercalares, cada um com duração de uma hora, ou através de um exame, com duração de três horas.
Os alunos devem inscrever-se para as provas de avaliação, através do CLIP, no decurso do período aí estipulado.
Só poderão efetuar qualquer das provas os alunos que, no ato da prova, sejam portadores de Bilhete de Identidade ou Cartão de Cidadão, Cartão de Estudante e caderno de exame (com cabeçalho não preenchido).
2.1 – Avaliação contínua
Podem apresentar-se ao terceiro teste todos os alunos que tenham obtido frequência ou que dela estejam dispensados.
O primeiro e o terceiro teste serão cotados para 7 valores e o segundo teste será cotado para 6 valores.
Se a soma das classificações obtidas nos 3 testes for superior ou igual a 9,5 valores e inferior ou igual a 17,4 valores, o aluno fica aprovado com essa classificação, arredondada às unidades.
Se a soma das classificações obtidas nos 3 testes for superior ou igual a 17,5 valores, o aluno poderá optar entre ficar com a classificação final de 17 valores ou realizar uma prova complementar para defesa de nota.
Se a soma das classificações obtidas nos 3 testes for inferior ou igual a 9,4 valores, o aluno não é aprovado por avaliação contínua.
O aluno não aprovado por avaliação contínua pode optar por melhorar a classificação de um teste na data e hora do exame de recurso (em substituição da realização do exame de recurso).
2.2 - Exame de Recurso
Podem apresentar-se a exame de recurso todos os alunos inscritos e não aprovados na disciplina que tenham obtido frequência ou que dela estejam dispensados.
Se a classificação do exame de recurso for superior ou igual a 9,5 valores e inferior ou igual a 17,4 valores, o aluno fica aprovado com essa classificação, arredondada às unidades.
Se a classificação do exame de recurso for superior ou igual a 17,5 valores, o aluno poderá optar entre ficar com a classificação final de 17 valores ou realizar uma prova complementar para defesa de nota.
Se a classificação do exame de recurso for inferior ou igual a 9,4 valores o aluno reprova.
3 – MELHORIA DE NOTA
Todos os alunos que pretendam apresentar-se a exame de melhoria de nota devem inscrever-se, para esse efeito, através do CLIP.
Se a classificação do exame de melhoria for superior à classificação obtida anteriormente na disciplina, será considerada como classificação final. Caso contrário, não se verifica melhoria de nota.